【ワルラス均衡･ワルラス法則】意味や求め方･計算方法など

一般均衡理論で語られることの多い「ワルラス均衡」と「ワルラス法則」について、教科書の数式ではイマイチ分からないという人向けに簡単な解説をしています。

• ワルラス均衡
• ワルラス法則
• 意味や数式で考える
• 簡単な計算問題

ワルラス均衡とは？

（Wikipediaより レオン･ワルラス）

 

 

ワルラス均衡には2つの条件があります。言い換えると、2つの条件を満たす状態(資源配分)をワルラス均衡と呼びます。

• （条件①）消費者の効用最大化（生産者の利潤最大化）が実現する
• （条件②）全市場の需要と供給が一致する

 

交換経済のワルラス均衡

前提

• Aさん・Bさんが2財を交換するケースを考えます
• 2財は、それぞれX財・Y財です

 

step
1消費者が効用最大化を実現する

消費者が効用最大化を実現するためには

• Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)
• Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)

の式を最大化すればよいことが分かります。

 

交換経済なので、AさんとBさんはX財･Y財をそれぞれ初期保有しています（そもそも、2財しかない世界で、2人が財を持っていないと交換なんてできないですよね？）。

ここで、初期保有している財の価値を数字で表さないと、その後の計算が出来ないので貨幣価値に直します。⇒初期保有量に財の価格を掛けます。

 

以上より

初期保有量に財の価格を掛けたものは、その人の予算額とイコールになります（予算の範囲内でしか財の交換はできない）。

予算制約式＝（X財の価格×X財の保有量）＋（Y財の価格×Y財の保有量）となります。

 

• X財の価格＝Px
• Y財の価格＝Py
• Xa＝AさんのX財の初期保有量
• Ya＝AさんのY財の初期保有量

とすると

Aさんの予算式＝Px･Xa＋Py･Ya

同様に

Bさんの予算式＝Px･Xb＋Py･Yb

 

 

効用最大化時の条件

例えばAさんの効用最大化をするときに、予算内でしか財を交換できないため、次のような条件を付け加えます。

Aさんの実際の消費量（財の交換後の2財の保有量）≦Aさんの予算式

• （Px･xa＋Py･ya）≦（Px･Xa＋Py･Ya）

 

まとめ

• ワルラス均衡の1つ目の条件「消費者が効用最大化を実現する」は下記のように表す

（Max）Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)
（Max）Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)

 

（subject to／s.t）

Aさんの条件：Px･xa＋Py･ya ≦ Px･Xa＋Py･Ya
Bさんの条件：Px･xb＋Py･yb ≦ Px･Xb＋Py･Yb

 

 

step
2全市場で需要と供給が一致する

はじめに財の供給について考えます。

改めて交換経済を想定していることを思い出してください。財を交換するとき、Aさん･Bさんは初期保有している分しか交換に差し出せません。

つまり、財の供給量は「Aさんの初期保有量＋Bさんの初期保有量」となります。

 

次に財の需要について考えます。

Aさん･Bさんがどのような需要を持っているのか？を考えます。考え方は凄く簡単です。Aさん･Bさんは自身の需要関数(D)に従って、財の交換をしたがるはずなので2人の需要関数(D)を財の需要と考えます。

つまり、財の需要は「Aさんの需要関数＋Bさんの需要関数」となります。

 

ここで、需要と供給が一致します。

• 需要「Aさんの需要関数＋Bさんの需要関数」
• 供給「Aさんの初期保有量＋Bさんの初期保有量」

 

供給

• Xa＝AさんのX財の初期保有量
• Xb＝BさんのX財の初期保有量
• Ya＝AさんのY財の初期保有量
• Yb＝BさんのY財の初期保有量

とすると
「X財の供給＝Xa+Xb」
「Y財の供給＝Ya+Yb」

 

需要

• X財の価格＝Px
• Y財の価格＝Py
• xa＝AさんのX財の消費量
• xb＝BさんのX財の消費量
• ya＝AさんのY財の消費量
• yb＝BさんのY財の消費量

とすると
「X財の需要＝xa(Px,Py)+xb(Px,Py)」
「Y財の需要＝ya(Px,Py)+yb(Px,Py)」

 

まとめ

• X財市場の需給の一致

X財の供給＝Xa+Xb
X財の需要＝xa(Px,Py)+xb(Px,Py)

 

• Y財市場の需給の一致

Y財の供給＝Ya+Yb
Y財の需要＝ya(Px,Py)+yb(Px,Py)

 

ワルラス均衡とは

次の①･②の条件を満たすときの資源配分(市場均衡点)のことを言う。

①消費者が効用最大化を実現しており

（Max）Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)
（Max）Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)

（subject to／s.t）
Aさんの条件：Px･xa＋Py･ya ≦ Px･Xa＋Py･Ya
Bさんの条件：Px･xb＋Py･yb ≦ Px･Xb＋Py･Yb

 

②さらに全市場の需給が一致している

xa(Px,Py)+xb(Px,Py)＝Xa+Xb
ya(Px,Py)+yb(Px,Py)＝Ya+Yb

 

ちなみに生産経済の場合は‥

 

生産経済のワルラス均衡

前提

• 企業1･消費者2人(Aさん･Bさん)の市場を考えます
• 2財は、それぞれX財・Y財です
• 生産要素は2人の労働力(L)です
• 企業の株式はAさん･Bさんが全て保有しています

 

step
1消費者が効用最大化を実現する

消費者が効用最大化を実現するためには

• Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)
• Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)

の式を最大化すればよいことが分かります。

 

生産経済では、AさんとBさんの予算(所得)は次の2つがあります

• 労働の報酬（賃金収入）
• 企業の利潤の分配（配当収入）

 

2つの収入を文字で表すと‥

• Aさんの労働量＝La
• Bさんの労働量＝Lb
• 賃金＝w

 

• Aさんの株式保有量＝Sa
• Bさんの株式保有量＝Sb
• 企業の利潤＝π

 

• X財の価格＝Px
• Y財の価格＝Py
• AさんのX財消費量＝xa
• BさんのX財消費量＝xb
• AさんのY財消費量＝ya
• BさんのY財消費量＝yb

とすると

（Aさんの予算式）Px･xa＋Py･ya＝w･La＋π･Sa

同様に

（Bさんの予算式）Px･xb＋Py･yb＝w･Lb＋π･Sb

 

まとめ

• ワルラス均衡の条件「消費者が効用最大化を実現する」は下記のように表します

（Max）Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)
（Max）Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)

 

（subject to／s.t）

Aさんの条件：Px･xa＋Py･ya＝w･La＋π･Sa
Bさんの条件：Px･xb＋Py･yb＝w･Lb＋π･Sb

 

step
2生産者が利潤最大化を実現する

生産者が利潤最大化を実現するためには

• 企業の利潤関数「(商品価格×生産販売量)－(賃金×労働量)」を最大化すればよい

ここで

• X財の価格＝Px
• Y財の価格＝Py
• X財の生産量＝x
• Y財の生産量＝y
• 労働の投入量＝L
• 賃金＝w

とすると、企業の利潤関数は「Px･x＋Py･y－w･L」

 

企業の商品生産は「生産関数」に影響を受ける

• X財の生産量=x
• Y財の生産量=y
• 労働量の投入量＝L

 

まとめ

• ワルラス均衡の条件「生産者が利潤最大化を実現する」は下記のように表します

（Max）企業の利潤関数：Px･x＋Py･y－w･L

 

（subject to／s.t）

企業の条件(生産関数)①：x＝F(L)
企業の条件(生産関数)②：y＝F(L)

 

step
3全市場で需要と供給が一致する

全市場というのは次の3つです。

1. X財市場の需給
2. Y財市場の需給
3. 労働市場の需給

また、需要と供給というのは

需要「財の消費量(企業の労働投入量)」
供給「財の生産量(2人の労働量)」

 

1. (AさんのX財消費量＋BさんのX財消費量)＝(企業のX財生産量)
2. (AさんのY財消費量＋BさんのY財消費量)＝(企業のY財生産量)
3. (企業の労働投入量)＝(Aさんの労働量＋Bさんの労働量)

• AさんのX財消費量＝xa
• BさんのX財消費量＝xb
• 企業のX財生産量=x
• AさんのY財消費量＝ya
• BさんのY財消費量＝yb
• 企業のY財生産量=y
• Aさんの労働量＝La
• Bさんの労働量＝Lb
• 労働量の投入量＝L

以上より

 

まとめ

• (生産経済における)ワルラス均衡とは

次の①･②･③の条件を満たすときの資源配分(市場均衡点)のことを言う。

①消費者が効用最大化を実現しており

（Max）Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)
（Max）Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)

（subject to／s.t）
Aさんの条件：Px･xa＋Py･ya＝w･La＋π･Sa
Bさんの条件：Px･xb＋Py･yb＝w･Lb＋π･Sb

 

②生産者が利潤最大化を実現しており

（Max）企業の利潤関数：Px･x＋Py･y－w･L

（subject to／s.t）
企業の条件(生産関数)①：x＝F(L)
企業の条件(生産関数)②：y＝F(L)

 

③さらに全市場の需給が一致している

（X財市場）xa＋xb=x
（Y財市場）ya＋yb=y
（労働市場）La＋Lb=L

 

交換経済と生産経済のワルラス均衡が分かったところで・・

 

 

ワルラス均衡の含意

 

均衡といった場合「需要曲線と供給曲線が交わったところ均衡点と言って～」とか、「市場が均衡しているとき～」などと使われます。

ワルラス均衡は、具体的に均衡を定義しています

これまでは言葉とかグラフで均衡と表現していたものを、より具体的な条件を使って、数学的に表現したことで、この後の議論をし易くしています。

 

このあとの議論について

ワルラス均衡から「ワルラスの法則」や「厚生経済学の基本定理」へと話が繋がります。なので、ワルラス均衡について分かったけど「だから何？」と思っても、その後の議論の前提になっているという風に理解すればOKです。

ワルラス法則とは？

 

 

前提

• X財の価格＝Px
• Y財の価格＝Py
• xa＝AさんのX財の消費量
• xb＝BさんのX財の消費量
• ya＝AさんのY財の消費量
• yb＝BさんのY財の消費量
• Xa＝AさんのX財の初期保有量
• Xb＝BさんのX財の初期保有量
• Ya＝AさんのY財の初期保有量
• Yb＝BさんのY財の初期保有量

 

ワルラス均衡の項目で説明したとおり、AさんとBさんの予算式は

• Aさん（Px･xa＋Py･ya）≦（Px･Xa＋Py･Ya）
• Bさん（Px･xb＋Py･yb）≦（Px･Xb＋Py･Yb）

この2人の予算式から市場全体を考えます。市場全体と言っても2人しかいませんので、2人の予算式を合体させればOKです。

• （X財とY財の実際の消費額）≦（X財とY財の予算額(初期保有量)）

⇒(Px･xa＋Py･ya)＋(Px･xb＋Py･yb) ≦ (Px･Xa＋Py･Ya)＋(Px･Xb＋Py･Yb)

長いので「Px･Py」でくくります。
⇒Px(xa＋xb)＋Py(ya＋yb) ≦ Px(Xa＋Xb)＋Py(Ya＋Yb)

 

また、「≦」と置いていましたが、各消費者は効用最大化のために予算をすべて使い切ると考えるため「＝」とします。以上より

 

ここで「左辺は市場の総需要」を「右辺は市場の総供給」を表している

左辺は、2人の実際の消費額＝需要なので分かりやすいかと思います。右辺ですが、ワルラス均衡で説明した通り、交換経済では初期保有している分を交換に差し出すことができる(供給する)と考えています。

以上より、完全競争市場では、総需要と総供給が一致することが分かる。

 

 

• X財･Y財の需要が各10個だとします

ここで、X財の需要が11個になった場合、超過需要1個(11個－10個)となります。

 

X財の供給を1個増やしたため、Y財の供給が9個(10個－1個)になります。供給が減ったので、それに合わせて需要も1個減ります。

以上より、Y財の需要は9個になります。これを超過需要－1個(9個－1個)と考えます。

 

 

重要

• ワルラス法則から何が分かるのか

ワルラスの法則の定義について説明したところで、これが何を意味しているのか？(ワルラスの法則が成立するとどんなことが言えるのか？)を簡単に補足します。

 

ポイントは2つあります

1. そもそも市場には均衡が存在するのか？
2. 厚生経済学の基本定理の証明

 

① ワルラスの法則により、全市場の需要と供給が一致する均衡点（一般均衡）が存在するのかを確かめることが出来る。

 

少々難易度が高い話なので、ここではサラッと触れます。

 

② ワルラスの法則により、厚生経済学の基本定理を証明することが出来る。

 

厚生経済学の基本定理は大きなトピックなので、ここではサラッと触れます。

 

ワルラス均衡の求め方･計算方法

 

いま、消費者が2人で、X財とY財が存在する交換経済を考える。

Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)＝3xa･ya
Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)＝2xb･yb

Aさんの初期保有量：Ea(20,80)
Bさんの初期保有量：Eb(80,20)

X財の価格＝Px
Y財の価格＝1

 

step
12人の予算制約式を考える

ワルラス均衡の予算式で説明した通り

「(価格×実際の消費量)＝(価格×初期保有量)」が予算制約となるので

• Aさんの予算制約式：Px･xa+Py･ya＝20×Px＋80×1なので「Px･xa+Py･ya＝20Px＋80」
• Bさんの予算制約式：Px･xb+Py･yb＝80×Px＋20×1なので「Px･xb+Py･yb＝80Px＋20」

 

step
2競争均衡を考える

競争均衡とはワルラス均衡のことです。

 

Aさん･Bさんの効用最大化を求めます。

(Max)
Aさんの効用関数：Ua(xa, ya)＝3xa･ya
Bさんの効用関数：Ub(xb, yb)＝2xb･yb

(subject.to.)
Aさんの予算制約式：Px･xa+Py･ya＝20Px＋80
Bさんの予算制約式：Px･xb+Py･yb＝80Px＋20

上記のときのX財･Y財の消費量を求めればOKです。

 

2人の限界代替率が知りたいので、問題文で与えられている効用関数から求めます。

 

 

• Aさんの効用関数「Ua(xa, ya)＝3xa･ya」より

「ya＝Ua／3xa」とする

 

「Ua」という文字が邪魔なので、Uaを「xaとya」に置き換えます。

 

Bさんの限界代替率も同様に求めると「－(yb／xb)」となります。

 

• Aさんの限界代替率＝「－(ya／xa)」
• Bさんの限界代替率＝「－(yb／xb)」

 

効用最大化(最適消費)が実現するとき「予算制約線の傾き＝限界代替率」が等しいということを思い出します。

• X財の価格＝Px
• Y財の価格＝1

より、予算制約線の傾きは「Px／1」なので「Px」となる。

 

 

予算制約式も「x＝・y＝」の形にします

Aさんの予算制約式：Px･xa+Py･ya＝20Px＋80
Bさんの予算制約式：Px･xb+Py･yb＝80Px＋20

 

Aさんの予算線より

• Px･xa+Py･ya＝20Px＋80
• Px･xa+ya＝20Px＋80（Py=1なので消す）
• Px･xa＝20Px＋80－ya
• xa＝20＋(80－ya)/Px

• Px･xa+Py･ya＝20Px＋80
• Px･xa+ya＝20Px＋80（Py=1なので消す）
• ya＝20Px＋80－Px･xa
• ya＝(20－xa)Px＋80

 

さきほど下記のように求めたのでイコールで結びます

• xa＝ya／Px
• ya＝Px･xa

 

「xa＝ya／Px」
「xa＝20＋(80－ya)/Px」より

• ya／Px＝20＋(80－ya)/Px

(両辺にPxをかける)

• ya＝20Px＋80－ya
• 2ya＝20Px＋80
• ya＝10Px＋40

 

「ya＝Px･xa」
「ya＝(20－xa)Px＋80」より

• Px･xa＝(20－xa)Px＋80

(両辺をPxで割る)

• xa＝20－xa＋80/Px
• 2xa＝20＋80/Px
• xa＝10＋40/Px

 

Bさんも同様に計算して

• yb＝40Px＋10
• xb＝40＋10/Px

 

競争均衡におけるAさんとBさんの各財の消費量(最適消費量)は‥

 

step
3競争均衡の価格を考える

競争均衡の価格は「ワルラス均衡が実現するときの価格」を意味しています。

 

市場に存在する2財の総量(供給量)は

Aさんの初期保有「X財20個･Y財80個」
Bさんの初期保有「X財80個･Y財20個」

なので合計でX財＝100個･Y財＝100となる。

 

「10＋40/Px」＋「40＋10/Px」＝100

• 50＋50/Px＝100
• 50/Px＝50
• Px＝1

 

また、問題文より「Py＝1」なので

 

競争均衡が実現するときの価格は「Px＝1」※ワルラス均衡価格は「Px/Py=1」