経済学

【等量曲線】意味や性質・よくある疑問を分かりやすく理解する

生産者理論で登場する「等量曲線」について

  • 等量曲線(等生産量曲線)とは
  • 等量曲線の性質
  • 生産関数と等量曲線の関係
  • 特殊な等量曲線(直角・直線)
  • 無差別曲線との違いは?

勉強を進めていく上で必要な知識をまとめています。

等量曲線(等生産量曲線)とは

等量曲線(等生産量曲線)とは

企業が同じ生産量を維持できる生産要素(資本量・労働量など)の組合わせを結んだ曲線のこと。同一の等量曲線上ならば生産量は同じになる。等生産量曲線・等産出量曲線とも言う。

 

北国宗太郎
言葉だけだとイメージし辛い‥。
グラフで見れば分かりやすいよ。一緒に見ていこう!
牛さん

 

例えば

  • 自動車を100台生産する

車100台には、専用の機械(資本)と、組み立てを行う人(労働力)が必要です。

ここでは、車100台の生産に「機械10台作業員15人」が必要だと仮定します。

 

ポイント

ここで、車100台の生産には、機械を1台減らして作業員を10人増やすことでも対応できる場合機械9台」「作業員25人」とすることが出来ます

逆に、機械を1台増やして作業員を5人減らすことで、車100台の生産を維持できるならば機械11台」「作業員10人」と出来ます

 

まとめると

車100台を生産するための生産要素の組み合わせは、次の3通りが可能です。

  • (機械9台,作業員25人)
  • (機械10台,作業員15人)
  • (機械11台,作業員10人)

 

グラフで見ると

 

ポイント

このように、同じ生産量(産出量)を維持できる生産要素(資本量・労働量など)の組み合わせを結んだ曲線を等量曲線と呼んでいます。(曲線は直線を含みます)。

 

等量曲線の性質

 

等量曲線には、大きく4つの性質があります。

 

等量曲線は

  • 右上に位置する方が生産量が多い
  • 右下がり
  • 交わらない
  • 原点に対して凸

この4つの性質について簡単に見ていきます。

 

① 右上に行くほど生産量が多い

より右上に位置する等量曲線の方が生産量が多い(生産水準が高い)

 

例えば

  • 等量曲線上の点(11, 10)
  • 等量曲線上の点(10, 30)

点(11, 10)よりも点(10, 30)の方が右上の等量曲線(Y=150)上に存在している

そのため、点(10, 30)の方が生産量が多い

 

② 右下がりになる

等量曲線は、基本的には右下がりになる。

 

ココに注意

基本的には右下がりですが、L字型の等量曲線なども存在します。⇒この記事の後半部分を確認する

 

③ 交わらない

異なる2本の等量曲線は、お互い決して交わりません

 

簡単に証明をしてみます。

 

北国宗太郎
どうやって証明するの?
背理法を使います。
牛さん

背理法は「○○だと矛盾が生じるので、○○は正しくない」という証明方法。

 

最初に

企業の生産活動は

  • 単調性(非飽和性)を満たしているとする

 

ポイント

生産要素を投入した分だけ多く生産物が得られます。これを単調性(非飽和性)と呼びます。

※限界生産力逓減の法則があるので増加率は小さくなります。

 

ここで

等量曲線(Y=100)と等量曲線(Y=200)が交わっているとします。

  • 等量曲線(Y=100)上に点Aと点B
  • 等量曲線(Y=200)上に点Aと点C

 

次に

同じ等量曲線上ならば「どの資本量・労働量の組み合わせ」も同じ生産量となる。

  • 等量曲線(Y=100)上にある点Aと点Bは同じ生産量
  • 等量曲線(Y=200)上にある点Aと点Cは同じ生産量

推移律※の関係から「点Aの生産量=点Bの生産量=点Cの生産量」となるため、等量曲線(Y=100)と等量曲線(Y=200)は同じ生産量になるはずである。

「a=b」でかつ「b=c」であれば「a=c」が成り立つことを推移律という。

 

しかし

グラフから、点Cは

  • 点Bよりも右上に存在している
  • 投入された資本量・労働量が点Bより多い

単調性(非飽和性)を満たしていることから「点Cの生産量」は「点Bの生産量」よりも多くなるはずである。

 

推移律の関係から「点Cの生産量」と「点Bの生産量」は同じになるはずなので、ここで矛盾が生じる。

 

以上より

2つの等量曲線が交わることで矛盾が生じるため、2つの異なる等量曲線が交わることはない。

 

④ 原点から見て内側に膨らむ

一般的な等量曲線は、原点に向かって内側に膨らんだ曲線になります。原点に対してとつとも表現されます。

 

技術的限界代替率逓減の法則により、等量曲線は原点に対して凸になります。

 

例えば

  • 農作物を作る

もし「土地が4つあるけど、労働者がいないなら」農作物は育てられません。「労働者が4人いるけど、土地が無くても」農作物は育てられません。

そのため、土地と労働者(労働力)がバランスよく必要になります。

人間ではなくロボットが働くと考えた場合も同様です。土地だけあっても、ロボットによる労働力がなければ農作物は育てられません。

 

ポイント

  • 土地=4, 労働者=0
  • 土地=0, 労働者=4
  • 土地=2, 労働者=2

この3つなら、土地と労働者がバランスよく投入される「土地=2, 労働者=2」が多くの農作物を収穫できます。

 

もしも

  • 等量曲線が原点に凸ではなく、直線だったら

 

同じ等量曲線上なので、3つの生産量はすべて同じになります。

  • 土地=4, 労働者=0
  • 土地=0, 労働者=4
  • 土地=2, 労働者=2

さきほど記載したように、ふつうは土地と労働者がバランスよく投入される「土地=2, 労働者=2」の方が多くの農作物を収穫できるので、等量曲線は直線にはなりません

 

つまり

「土地=2, 労働者=2」の点が他2つよりも右上の等量曲線上に位置するように、原点に対して凸形状の等量曲線が自然となる。

生産関数との関係

 

生産関数と等量曲線の違いが分からない人がいるかと思います。ここでは、その違いと関係性について解説していきます。

 

ポイント

長期生産関数を2次元に落とし込んだ曲線が「等量曲線(等産出量曲線)」となる。

 

北国宗太郎
これだけ見ても分からない。。
少し具体的な話をしよう!
牛さん

 

生産関数は「労働力(L)」「資本(K)」の両方が産出量に影響を与えるので、3次元のグラフになります。

産出量(生産量)は、空中の縦軸で測定できます

ここで、赤い点線(Y*)に注目します。
赤線(Y*)は、同じ産出量(生産量)を示しています。

 

つまり

労働と資本の組み合わせが「L, K」でも「L*, K*」でも、生産物の産出量は「Y*」になります。

 

ポイント

例えば、100個の製品を作るのに(労働10, 資本30)という組み合わせでも(労働50, 資本10)という組み合わせでもOKという状態です。

どちらの組み合わせでも100個の製品を作れることを赤い線が表してます。

 

そして

産出量が同じになる労働(L)と資本(K)の組み合わせを結び、2次元に落とし込みます。

生産関数を2次元に落とし込んだ曲線が「等量曲線(等産出量曲線)」となる。

 

北国宗太郎
生産関数と等量曲線の関係が分かりました。
この関係を知らないと後で混乱したりするから、しっかり理解しよう。
牛さん

等量曲線のよくある疑問

 

等量曲線でよくある疑問を簡単に説明していきます。

 

生産関数がS字でも原点に凸?

 

S字型の生産関数の場合、等量曲線の形状はどのようになるか。

生産要素の投入が少ない段階では生産が効率化していきます。一方で、投入しすぎると生産効率が悪くなります。それを表したのがS字型の生産関数です。

 

北国宗太郎
どうなんだろう。。
生産関数と等量曲線の関係を考えれば簡単だよ。
牛さん

 

ポイント

等量曲線は、生産関数を2次元に落とし込んだ曲線。⇒1つ前の段落で確認する

 

グラフで見る

生産要素がS字型でも、等量曲線は原点に対して凸の曲線になる。

 

北国宗太郎
S字型でも等量曲線はふつうの形状なんだね。
うん。生産関数が右上がりになっていればS字でも同じ。
牛さん

さらに詳しく

通常は生産要素(資本・労働力)を投入し続ければ、生産量は増え続けるので生産関数は右上がりになります。(収穫が逓減(逓増)するため、生産量の増加率は変わります。これはS字のようにカーブの緩やかさで表現されます。)

つまり、ふつうの生産関数は右上がりになるので、等量曲線は原点に対して凸の曲線にしかなりません。

生産要素を投入すると、どんどん生産量が減少する物理法則に反したような場合では、生産関数は右下がりになります。この場合は、原点に対して凹の等量曲線になります。

 

等量曲線が直角になるのは?

等量曲線がL字(直角)になるケースはある?

 

北国宗太郎
直角の等量曲線にはどんな意味があるのかな?
詳しく見ていこう!
牛さん

 

ポイント

等量曲線が直角になるのは、2つの生産要素がそろわないと生産できないことを表している。ちなみに、このような生産関数はレオンチェフ型と言います。

 

例えば

  • ヴァイオリンの演奏会を開く

演奏会を開くには、ヴァイオリンと演奏者の1セットが必要です。

 

北国宗太郎
ヴァイオリンだけあってもダメだもんね。
こういう場合の等量曲線は直角になるよ。
牛さん

 

他にも

  • 航空会社が航空サービスを提供する

通常、飛行機1台につき操縦士が2人位います。

そのため、飛行機1台と操縦士2人がいないとサービスを提供できません。これも等量曲線が直角になる例です。

 

もしも

飛行機が100台あった場合でも、操縦士が2人しかいなければ、飛ばせる飛行機は1つです。

 

無差別曲線とは何が違うの?

 

「等量曲線」と似たものに「無差別曲線」があります。

 

北国宗太郎
企業側では等量曲線って覚えてたけど違うところがあるの?
うん。少し細かい話になるけど知っておこう!
牛さん

 

ポイント

  • 無差別曲線は「序数
  • 等量曲線は「基数

「序数」は順番を示し、基数は「数量」を示す。

 

もともと、消費者理論で登場する「効用(無差別曲線)」は「AよりもBが好き(序数)」という考え方です。

 

ココに注意

便宜上で「満足度70」とか「満足度100」を使うことはありますが、そもそも人の満足度(効用)を数字で表すことは出来ないので、あくまで「AよりBの方が好き(序数)」という順番をもとに効用水準を判断しています。

 

北国宗太郎
あまり意識したことなかった。
普通はそうだと思うよ。
牛さん

 

一方で

企業の生産活動では、具体的に生産量がいくつかを考えています。つまり、数量という考え方がベースにあるので、等量曲線は基数に基づいています。

 

北国宗太郎
序数と基数って考えたことがなかったから勉強になります。
問題を解く時はあまり関係ないけど、参考書とかに序数・基数って言葉が出てくるから知っておこう!
牛さん

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