経済学

【制約付き要素需要関数】意味と生産関数・等費用線からの求め方

制約付き要素需要関数」は、最小費用での生産要素の投入量(需要量)を表しています。

  • 制約付き要素需要関数とは?
  • 制約付き要素需要関数の求め方

費用最小化問題に関連して登場するため、突然「需要」という言葉が出てきて混乱する人もいます。そんな人向けに「制約(条件)付き要素需要関数」について簡単にまとめました。

制約付き要素需要関数とは?

制約付要素需要関数

生産量が与えられているとき最小費用が実現する生産要素の投入量を与えられた生産量(Y)生産要素の価格(r・w)で表した関数のこと。

「条件付き要素需要関数」や「派生要素需要」とも言う

 

北国宗太郎
この関数って重要なの・・?
微妙です‥ただ、費用最小化問題で一緒に登場するから知っておくと良いよ。
牛さん

この関数を求めるためには費用最小化に関する知識がいるため、関連する知識が定着しているかを知るために出題されることもあります。

 

どうして「需要関数」なの?

条件付き要素需要関数は「最小費用が実現するときの、生産要素(資本・労働)の投入量を表した関数」になります。

 

ポイント

費用最小化するとき、生産要素(資本・労働)がどれくらい必要になるのか?とも言えます。つまり「企業の生産要素の需要はどれくらいになるのか?」と言えるので、需要関数という表現をします。

 

どうして「制約付き・条件付き」なの?

「生産量(Y)」が与えられていることを「制約付き・条件付き」と表現しています。つまり「生産関数(Y)」が与えられているときに生産要素の需要関数を求めると「制約付き・条件付き」となります。

生産関数ではなく「生産物(商品)の販売価格」を使うと通常の要素需要関数になります。利潤最大化という項目で登場します。

 

さらに詳しく

制約付き要素需要関数を求めたあと「資本の投入量(K)・労働の投入量(L)」を目的関数(等費用線の式)に代入すると費用関数(C)になります。この後の計算でも触れています。

制約付き要素需要関数の求め方・計算

 

ポイント

最終的に「資本量(K)=●●」「労働量(L)=●●」という関数を求めます。このとき「生産要素の価格(r・w)・生産量(Y)」の「r・w・Y」という3文字だけで表される関数になります。

 

例題

  • 生産関数(Y)=KL
  • 資本価格=r
  • 労働価格=w

制約付要素需要関数(条件付要素需要関数)を求める。

念のためですが、生産量が具体的に100とか200とか与えられている必要はなく、生産関数(Y)が与えられていれば制約付き要素需要関数が求められます。

 

費用最小化を求める

費用最小化問題の解き方を知っている前提で計算を進めるので、分からない人はこちらで確認⇒【費用最小化】考え方・条件式・求め方について分かりやすく解説

 

step
1
技術的限界代替率(MRTS)を求める

  • 生産関数(等量曲線)から「傾き=技術的限界代替率」を求めます。

 

「生産関数(Y)=KL」から「K=Y/L」とする

「K=Y/L」を微分します。

  • -(Y/Lの2乗)(=-(Y・Lの-2乗))」となります。

 

ここで

「Y」という文字が邪魔なので、Yを「KとL」に置き換えます。

「Y=KL」を「-(Y/Lの2乗)」に代入します。

「Y(=KL)/Lの2乗」⇒-(KL/Lの2乗)」=「-(K/L)

 

step
2
「等費用線の傾き」を求める

  • 等費用線(C)=rK+wL
  • C=rK+wL
  • rK=-wL+C
  • K=-(w/r)L+(C/r)

等費用線の傾きは「-(w/r)」

 

step
3
「等費用線の傾き=技術的限界代替率」で投入量を求める

  • 等費用線の傾き「-(w/r)」
  • 技術的限界代替率「-(K/L)」

「-(w/r)」=「-(K/L)」

① 両辺にLを掛ける

K=(w/r)L

②「K(w/r)L」の両辺に(r/w)を掛ける

L=(r/w)K

 

ここから

通常、制約付き要素需要関数は「r・w・Y」の3つの文字で表されます。なので、その形に変形しておきます。

「生産関数(Y)=KL」より

  • K=Y/L
  • L=Y/K

この2つを

K=(w/r)L
L=(r/w)K

にそれぞれ代入します。

 

K=(w/r)(Y/K)
Kの2乗=(w/r)Y

  • K=√(w/r)・√Y

 

L=(r/w)(Y/L)
Lの2乗=(r/w)Y

  • L=√(r/w)・√Y

 

答え

資本の制約付要素需要関数:K=√(w/r)・√Y
労働の制約付要素需要関数:L=√(r/w)・√Y

少し見づらいので、下に綺麗なものを載せます。

  • 資本の制約付要素需要関数

 

  • 労働の制約付要素需要関数

 

点(掛ける)は要らないですが、見栄えが悪くなるので付けたままにしています。

 

ちなみに

  • 費用関数(C)を求めるには?

 

ポイント

ここで求めたK=√(w/r)・√Y」「L=√(r/w)・√Y」を、等費用線の式「C=rK+wL」へ代入すると費用関数(C)となります。

費用関数(C)も「r・w・Y」の3文字で表されている関数になります。日本語で言うと「費用最小が実現する時の要素価格(r・w)と生産量(Y)の関数」となります。

 

C=rK+wL
C=r(√(w/r)・√Y)+w(√(r/w)・√Y)

問題の作り方が悪かったせいで、これ以上綺麗になりません。

 

北国宗太郎
ここから費用関数(C)に繋がっていくんだね。
うん。費用最小化から費用関数を求める問題も多いから知っておこう!
牛さん

関連コンテンツ

-経済学
-, ,

Copyright© どさんこ北国の経済教室 , 2020 All Rights Reserved.