経済学

【生産関数】限界費用・利潤最大化・供給関数の求め方を分かりやすく

生産関数」は企業の経済活動を分析するための第1ステップです

  • 生産関数とは?(式・種類)
  • 生産関数の短期・長期
  • 生産関数のグラフ
  • 生産関数と費用関数
  • 生産関数と利潤最大化
  • 生産関数と供給関数

生産関数で登場する基本的な情報をまとめています。

生産関数とは?

生産関数とは

生産要素の投入量」と「生産量」の関係を表した関数のこと。生産関数では、労働量(Labor)と資本量(Kapital)の2つが生産要素として登場することが多い。

 

北国宗太郎
「生産関数」は消費者理論で登場した効用関数の企業版だね。
うん。でも少しだけ違う考え方が登場するよ。
牛さん

 

主な相違点

  • 資本の扱い方で「短期の生産関数(F)」と「長期の生産関数(F)」に分かれる

費用関数も短期と長期に分けられます。短期・長期の違いは後程紹介します

 

ここからは「労働(L)」「資本(K)」で表される生産関数(F)を考えていきます。この2つの生産要素で考えた生産関数(F)は、ミクロ経済学では1番オーソドックスです。

 

生産関数の種類・数式

 

  • 生産関数は「Y=F(L, K)」と表される

L(労働)と資本(K)は変数ということを意味しており「Y=○L+○K」や「Y=○L×○K」という形の数式を表しています。

 

具体的には

  • Y=2L+5K
  • Y=3L×4K

労働(L)と資本(K)を足し合わせる生産関数を「リニア型(線形)」と言います。

労働(L)と資本(K)を掛ける生産関数を「コブ・ダグラス型」と言います。

通常「Y=○L×○K」「Y=○L+○K」の○の部分は、問題文などに示されています。もちろん乗数が登場することもあります。「Y=(Lの2乗)×(Kの2分の1乗)」など。

 

北国宗太郎
「Y=F(L,K)」って数学知らないと意味が分からない人が多そう‥。
ここでつまづく人も多いよ。意味をしっかりと押さえましょう。
牛さん

 

ちなみに

経済学の問題でよく登場するのは、労働(L)と資本(K)を掛けあわせる「コブ・ダグラス型の生産関数です。

「従業員の労働力」や「設備投資」は相乗効果が生まれると考えているため。

 

短期生産関数(生産要素が1つ)

(バー)」は数値が一定であることを表します。

 

企業が設備投資をしたり、土地を買ったりするのは通常は時間がかかります。

そのため、短期的な企業の生産活動を分析する時は、資本(K)の動きを考慮しません(=資本は一定)。この資本を一定(固定的生産要素)とした生産関数(F)を短期生産関数と呼びます。

 

ポイント

労働力(L)と資本(K)で考えた生産関数(F)なら、資本が一定になるので「実質的に労働力が商品やサービスの生産に影響を与える」と言えます。

 

短期の生産関数の基礎知識が分かったところで、次にグラフを見ていきましょう。

 

生産関数のグラフ

  • 生産関数によって描かれる曲線を「生産力曲線(生産曲線)」と呼びます。

生産力曲線が緩やかになっているのは、次第に生産力が小さくなる様子を表現しています(限界生産力逓減の法則・収穫逓減の法則)。

 

例えば

  • 農家が作物をたくさん作ります。

短期的には土地(資本)を増やすことが難しいので、労働力を増やします。

 

このとき

土地は限られているので人が増えても育てられる作物には限りがあります。そのため、人を増やし続けても費用対効果はどんどん悪くなっていきます

これを限界生産力逓減と言います。追加した労働力から生産される作物がどんどん少なくなっていく現象です。

 

北国宗太郎
人を増やすだけだと生産力が頭打ちになるって事だね。
うん。だけどまだ終わりじゃないよ。
牛さん

 

現実的な話

  • 広い土地なら1人よりも2人の方が良い

先ほどまでは「土地が一定なので、人を増やし続けると効率が悪くなっていく」という話でしたが、逆に、明らかに人手不足のときに労働力が増えれば効率的になります

 

ポイント

労働力が足りないと、労働力が増えると効率的に生産が出来るようになります。一方で、人が増え続けると効率が悪くなります。

この2つの関係をグラフで表すと「S字型の生産関数」になります。

グラフ

 

長期生産関数(生産要素が2つ)

 

先ほどまでは「資本は一定」だと考えてきました。

 

しかし

  • 長いスパンでみれば、設備投資によって効率的な生産活動が実現します

そのため、長期間で企業の生産活動を分析する時は、資本(K)を一定とせずに労働力(L)と同じく調整が可能(可変的生産要素)と考えます。

資本(K)を一定としない場合の生産関数(F)を長期生産関数と言います。

 

グラフ

短期生産関数の場合は、資本が一定なので「縦軸=産出量」「横軸=労働力(L)」をグラフに取ればOKでした。

長期生産関数の場合は「労働力(L)」「資本(K)」の両方が産出量に影響を与えるので、3次元のグラフになります。

  • 縦軸=資本量(K)
  • 横軸=労働力(L)
  • 空中(高さ)=産出量(Y)

短期生産関数のグラフと同じく、空中にS字型の生産曲線を描くことも出来ます。

 

北国宗太郎
3次元だとノートに書きづらいです。。
安心してください。2次元に出来ます。
牛さん

 

空中にS字型を描くグラフを扱うことも出来ますが、3次元では処理しにくいので、ふつうは2次元に落とし込みます

「産出量=Y*」に注目してください。

 

労働と資本の組み合わせが「L, K」でも「L*, K*」でも、生産物の産出量は「Y*」になります。

 

ポイント

例えば、100個の製品を作るのに(労働10, 資本30)という組み合わせでも(労働50, 資本10)という組み合わせでもOKという状態です。

どちらの組み合わせでも100個の製品を作れることを赤い線が表してます。

 

そして

産出量が同じになる労働(L)と資本(K)の組み合わせを結び、2次元に落とし込みます。

長期生産関数を2次元に落とし込んだ曲線を「曲線(等産出量曲線)」と言います。

産出量が同じになる生産要素(労働・資本)の組み合わせです。似た名前の等用線というものがありますが別物です。

 

長期の生産関数を扱うときは、この等量曲線を使うことが多いので、知っておきましょう。

 

生産関数と費用関数の関係

 

現在編集中です。

 

2つの関係

  • 生産関数は「生産要素の投入量」⇒「生産物の産出量」
  • 費用関数は「生産物の産出量」⇒「総費用」

 

ポイント

生産関数には労働(L)や資本(K)が含まれているので、それらを使って費用関数を求めることが出来ます。

 

費用関数の式

  • 労働=L
  • 賃金=w
  • 資本=K
  • 資本のレンタルコスト=r

費用関数(C)=wL+rK

※労働(L)と資本(K)の値は生産関数から求めることが出来る。

 

 

生産関数と利潤最大化の関係

 

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企業の利潤(π)=生産量(販売量)×販売価格(P)-費用(C)

 

 

生産要素が1つの場合

「生産関数の傾き(限界生産力)」と「等利潤線」が一致する

等利潤線⇒「利潤(π)=総収入(Q・P)-総費用(w・L)」この式を「Q=」に直したもの

 

生産要素が2つの場合

「等量曲線」と「等費用線」の接点

 

 

生産関数と供給関数の求め方

 

現在編集中です。

 

生産関数から利潤最大化を求めて、

価格(P)と生産量(Q)で結んだものが供給曲線になる。

 

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