経済学

【効用関数】限界効用・種類・需要関数の求め方を簡単に解説!

2019年9月23日

ミクロ経済学の第1ステップの「効用関数

  • 効用関数とは?(定義)
  • 効用関数のグラフ
  • 効用関数と限界効用
  • 効用関数と無差別曲線
  • 効用関数の種類
  • 効用関数と需要関数

効用関数で登場する基本的な情報をまとめています。

効用関数とは?(財が1つ)

 

効用関数の定義

効用を数値に置き換えて関数化したもので、効用の選好が①完備性推移性を満たす関数のこと。価値関数とも言う。

 

経済学では、人は「効用 (満足度)」を最大化するように行動するという前提

「効用 (満足度)」という考え方を使って経済を分析する時に、数値化することで分析しやすくなります。そこで「効用 (満足度)」を数値化して効用関数として扱うのです。

 

北国宗太郎
数値化って具体的にどんな感じでするの?
簡単な例を見てみよう!
牛さん

 

例えば

  • ドーナッツを1つ食べて得られる効用(満足度)を10とします。

 

こんなグラフ(効用関数)になります。

 

北国宗太郎
なんだか簡単だけど、これで終わり?
1つだけ続きがあるよ。このグラフを現実的な形にします。
牛さん

現実的な効用関数

 

北国宗太郎
牛さん、どうしてこれが現実的な形なの?
ドーナッツの例で考えてみよう!
牛さん

 

続き

  • ドーナッツを1つ食べて得られる効用(満足度)を10とします。

注意ポイント

しかし、ドーナッツを10個、20個と食べていくと、得られる満足度(効用)は小さくなっていきます。これはドーナッツに限った話ではありません。どんなものでも、最初が1番満足度が高まります

 

ビールを飲むなら、最初の1口目が最高に美味しいのです。

 

2口目、3口目と飲み続けると、最初の感動からは少しづつ離れていきます。

曲線が緩やかになっているのは、次第に効用(満足度)が小さくなる様子を表現しています (限界効用逓減の法則)。

 

効用関数

財・サービスの消費量(X)と効用(U)の関係を表した効用関数は「U=U(X)」となる 。この時、U(X)はXの増加関数。また、消費出来なくなることは想定しない (非飽和性)。効用は英語で「Utilitiy」なので頭文字を取っている。

 

もちろん、色々な形の効用関数が考えられますが、経済学では一般的に上の形で登場します。

 

ちなみに

効用関数の定義にも記載しましたが、効用関数には2つの前提があります。

  • 完備性(Completeness)を満たす
  • 推移性(Transitivity)を満たす

A財・B財・C財があるとき、それぞれの効用の大小関係は

「完備性」必ずA≧B か B≧Aとなる。

「推移性」A>B, C>Aなら C>Bが成り立つ

 

これまでは消費する財・サービスを1つで考えてきましたが、2つ以上の場合もあります。その場合でも効用関数が存在しますが、必ず「完備性」「推移性」が満たされていることが効用関数の前提となっています。

 

効用関数と限界効用の関係

 

効用関数から限界効用を求めることが出来ます。

限界効用は、財を1単位追加的に消費した場合の効用の増加分のこと。

 

グラフで見ると

限界効用(Marginal Utilitiy)は、財を1単位追加的に消費した場合の効用の増加分のことなので、グラフの横軸が1メモリ移動した時の効用の増加分となります。

 

数学的に考えると

効用関数(U)を消費量(X)で微分すると限界効用(MU)になります。

微分で接線の傾きを求めることで、限界効用(MU)を求めることが出来ます。

 

分数の理由

例えば「Y=2x」という数式があったとき2x」なので「傾きは2です。

変化量を「Δ (デルタ)」とします。

  • 消費量(x)が1増えたとき、変化量は「Δx=1」と書けます。
  • 「Y=2x」なので、xが1増えれば「Yは2増えます (ΔY=2)」

まとめると「傾き2」=「2/1 = ΔY/Δx」となります。

 

効用関数で考えれば U=U(x) ⇒「ΔU/Δx」となります。

 

北国宗太郎
これは勉強が必要なようです (鼻血)
基礎的なところだからしっかりと理解しよう!
牛さん

 

詳しい求め方はこちらで!

@限界効用・限界効用逓減の法則とは?求め方も含めて簡単にわかりやすく

  • 限界効用とは?・微分する理由・詳しい求め方についてまとめています ↑

効用関数の種類(財が2つ)

 

先ほどは、財が1つの場合を考えました。

経済学では財が2つ以上の場合を考えることの方が多いので、ここからの話は重要です。

 

北国宗太郎
財が2つの場合は、さっきと何か違うのかな?
うん。財が2つだと、そもそも効用関数を使わないことが多いよ。
牛さん

 

ポイント

財が2つの場合だと、グラフが3次元になります。

3次元グラフは使いづらいので、財が2つのときは、効用関数から得られる無差別曲線というのを使う場合が多いです。

 

ここでは

無差別曲線の話はせずに、効用関数の種類について話ていきます。

無差別曲線についてはこちらで確認する

 

財が2つある場合、効用関数は大きく2つの種類ある。

 

例えば

  • チョコ1枚を食べると10の効用

「効用(U)=10X」とします。

※Xはチョコの消費量

  • コーヒー1杯を飲むと10の効用

「効用(U)=10Y」とします。

※Yはコーヒーの消費量

この時、全体の効用(U)は、単純に「チョコの効用(=10X)」+「コーヒーの効用(=10Y)」足し算をして求める場合もあります。

または

「チョコの効用(=10X)」×「コーヒーの効用(=10Y)」掛け算をして求める場合もあります。(2財を消費したので相乗効果で効用が一気に高まっている。)

⇒この場合は「効用関数(U)=100XY」のようになります。

 

まとめると

  • 効用関数(U)=「10x + 10y」
  • 効用関数(U)=「10x × 10y」

効用関数は、足すパターンも掛けるパターンもあります。

消費量「x」と「y」を足し合わせる効用関数を「リニア型(線形)」と言います。

消費量「x」と「y」を掛ける効用関数を「コブ・ダグラス型」と言います。

 

そして

経済学の問題でよく登場するのは、2財の消費量を掛けあわせるケース「コブ・ダグラス型の効用関数です。

  • 効用関数(U)=「(x)×(y)」
  • 効用関数(U)=「(√x) × (√y)」

実は、普通の経済学の問題で登場する足し算型は特殊ケースです。「U=x+y」などの足し算の効用関数「リニア型(線形)」は、2財が完全代替財の場合で登場します。

特殊な無差別曲線※「右下がりの直線になる無差別曲線」を参照

 

なので

簡単に「効用関数(U)=x・y」などとして、そこから無差別曲線の形状を出して答えるパターンの問題が多いです。

「x・y」の「・」は掛けるという意味です。

 

ちなみに

「効用関数(U)=x・y」だと限界効用逓減にならないので、消費量が増えるほど効用の増加が小さくなるように「効用関数(U)=√x・√y」や「効用関数(U)=(xの2分の1乗)×(yの2分の1乗)」などと出題されることが多い。「効用関数(U)=x・y」は簡単な例題として出されることが多いイメージ。

効用関数と需要曲線の求め方

 

 

効用関数の話を発展させると「需要曲線(D)」が求められます。

高校の政治経済でもおなじみの「需要と供給」の需要の方です。

 

財・サービスが1種類の場合は、これまでの効用関数を使ってきました。

財の種類が2つ以上になると

これまでの効用関数ではなく無差別曲線というものを使います。

この3つの情報を使えば需要関数が求められます。

 

北国宗太郎
無差別曲線?
次のステップになるから、関係する項目をちゃんと勉強しよう!
牛さん

 

需要曲線の求め方は、消費者理論の最後の方の項目です。

ポイント

限界効用・効用関数→無差別曲線限界代替率予算制約線最適消費点→需要曲線の導出

 

順番に学習していくことをお勧めしますが、気になる人は↓

詳しくはこちら

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