効用最大化が実現する効用水準を、価格と所得で表した「間接効用関数(V)」
- 間接効用関数(V)とは？
- 求め方･計算方法は？
間接効用関数(V)の意味なども分かりやすくまとめています。
間接効用関数とは？
間接効用関数とは
最適消費点の効用水準を表す関数で、価格と所得が変数(式)に組み込まれた効用関数のこと。通常の需要関数(D)を効用関数(U)=目的関数に代入して求める（のちに説明）。
ふつうの効用関数(U)は、財の消費量のみを変数(式)にしている(「U=xy」etc)。効用水準に間接的な影響を与える価格･所得を使った効用関数であるため、間接効用関数(V)と呼んでいる。
通常の需要関数との関係
- 「ふつうの効用関数(U)」
↓ - 「需要関数(D)」
↓ - 「間接効用関数(V)」
補償需要関数との関係
- 「ふつうの効用関数(U)」
↓ - 「補償需要関数(D’)」
↓ - 「支出関数(補償所得関数)(E)」
効用関数から順番に計算していくと間接効用関数(V)が求められます。
概要が分かったところで実際に計算していきましょう！
通常の効用関数･需要関数から求める
ポイント
効用関数が与えられていることが多いので、まずは需要関数(D)を計算します。
例題
- 「U(x, y)＝xy」のとき、間接効用関数を求める
① 価格や消費量を文字でおき、予算制約式で表す。
- X財の価格=Px
- Y財の価格=Py
- X財の消費量=x
- Y財の消費量=y
予算制約線(I)は「(X財の消費量×X財の価格)+(Y財の消費量×Y財の価格)」で決まるので「xPx + yPy」と置けます。
以上より「予算制約線(I)= xPx + yPy」です。
② 効用最大化問題を解く
効用関数「U(x, y)＝xy」と予算制約線「I＝xPx + yPy」を使って、効用最大化問題を解きます。
解き方は効用最大化問題で確認できます。方法は沢山ありますが、ここでは「予算制約線の傾き＝限界代替率」を使って解きます。
（1）予算制約線の傾きを求める
I＝xPx+yPyより
- I＝xPx+yPy
- y=－(xPx／Py)＋I／Py
- y=－(Px／Py)x＋I／Py
（2）効用関数から限界代替率を求める
「U＝xy」から「y=U／x」へ変形後に微分します。
- 「y=U／x」⇒「U／xの2乗（＝U･xの－2乗)」
- 「U／xの2乗」に「U＝xy」を代入
- 「U(＝xy)／xの2乗」⇒「xy／xの2乗」＝「y／x」
（3）予算制約線の傾き＝限界代替率で効用最大化(最適消費点)を求める
「－(Px／Py)」＝「－y／x」
- X財の需要関数「x＝(Py／Px)y」
- Y財の需要関数「y＝(Px／Py)x」
③ 効用関数(U=目的関数)=xyに需要関数(D)を代入する
- 間接効用関数(V)＝xy＝(Py／Px)y･(Px／Py)x
- (V)＝(yPy／Px)･(xPx／Py)
- (V)＝(yPy／
Px)･(xPx／Py) - (V)＝(y
Py)･(x／Py) - (V)＝xy
間接効用関数は「(V)＝xy」
ちなみに
ふつうの効用関数(U)と間接効用関数(V)がともに「xy」となっていますが、たまたまです。効用関数が簡単な形だったため、一緒になりましたが、普通は違った関数になります。
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