経済学

【ホテリングの補題】利潤関数を微分して簡単な証明をする

中級以上のミクロ経済学で登場する「ホテリングの補題

証明は教科書にも載っていますが、それでは理解できない人向けに詳しい説明を加えて、出来るだけ簡単な証明を行っていきます。

ホテリングの補題の簡単な証明

(Wikipediaより)

ホテリングの補題とは

利潤関数(π)を生産物の価格(P)」で偏微分したものが供給関数(生産量)」に等しく生産要素の価格(wr)」で偏微分したものは生産要素の投入量(LK)のマイナスに等しいことを証明したもの。

 

実際にそうなるのか確認してみます。

 

利潤関数(π)を「生産物の価格(P)」で偏微分

はじめに

  • 利潤=π
  • 生産物価格=P
  • 生産量(供給量)=Y
  • 賃金=w
  • 労働の投入量=L
  • レンタル料=r
  • 資本の投入量=K

このとき、利潤を「利潤(π)=PY-(wL+rK)」と表せます。

 

確認する

まずこの2つに注目します。

  • 労働の投入量=L
  • 資本の投入量=K

利潤が最大化するときの「労働の投入量」「資本の投入量」は要素需要関数と言われています。

要素需要関数は、価格(P)・賃金(w)・レンタル料(r)の3つの文字で表記します

 

すると

  • 労働の投入量=L(p,w,r)
  • 資本の投入量=K(p,w,r)

L・Kのカッコ内の(p,w,r)は、価格(P)・賃金(w)・レンタル料(r)の3つの要素で構成される(置き換えることが出来る)という意味です。

 

次に確認する

  • 生産量(供給量)=Y

利潤が最大化するときの「生産量」は供給関数と言われています。

供給関数は、生産関数に含まれるL・Kを要素需要関数に置き換えます

 

すると

生産量=YL(p,w,r), K(p,w,r)

例えば「生産関数(Y)=LK」と与えられているとき「LK」に要素需要関数を代入することで供給関数が求められます。

つまり、生産量(Y)はさきほど登場した「L(p,w,r)」「K(p,w,r)」の2つによって構成される(置き換えることが出来る)ことが分かります。

それを「Y(L(p,w,r), K(p,w,r))」と表しています。

 

ちなみに

  • 生産物価格=P
  • 賃金=w
  • レンタル料=r

この3つは、市場価格を受け入れるのでそのままです。

 

まとめると

  • 利潤=π
  • 生産物価格=P
  • 生産量(供給量)=Y(L(p,w,r), K(p,w,r))
  • 賃金=w
  • 労働の投入量=L(p,w,r)
  • レンタル料=r
  • 資本の投入量=K(p,w,r)

このとき、利潤を「利潤(π)=P・Y(L(p,w,r), K(p,w,r))-(wL(p,w,r)+rK(p,w,r))」と表せます。

 

北国宗太郎
意味は分かったけど、ごちゃごちゃしてるね‥。
ひとまず意味が分かればOKだよ。
牛さん

 

証明

「利潤(π)=P・Y(L(p,w,r), K(p,w,r))-(wL(p,w,r)+rK(p,w,r))」を価格(P)で偏微分して、供給関数になるかを確認する

 

注意点

微分のやり方に気を付けましょう

 

「利潤(π)=PY-(wL+rK)」なので、価格(P)で微分して「利潤(π)=Y」とすると話が終ってしまいます

ここで思い出すのが‥

  • 生産量=Y(L(p,w,r), K(p,w,r))
  • 労働の投入量=L(p,w,r)
  • 資本の投入量=K(p,w,r)

ポイント

Y・L・Kを構成する要素にも価格(P)が含まれているため、それらも微分します。

 

緑丸の部分を微分します。

 

①まずは「P・Y(L(p,w,r), K(p,w,r))」の部分

「∂Y/∂L・∂L/∂P」は「∂Y/∂P」じゃないの(分母分子に∂Lがあるので消せる)?と思うかもしれませんが、この形は後で役立つのでそのまま進みます。

 

②次に「-(wL(p,w,r)+rK(p,w,r))」の部分

 

まとめると

 

ここで黄色・青色の枠に注目します

どちらも「∂L/∂P」「∂K/∂P」が含まれているため式をまとめます。

 

ここに注目

 

ちなみに

 

利潤最大化条件についてはこちらで確認してください。【完全競争・利潤最大化】条件や求め方・計算方法をグラフを使って理解する※②数式で考えるを参照

 

以上より

0に何を掛けても0なので、黄色枠と青色枠は消えます。

 

残ったのは・・

  • 生産量(供給量)=Yだけ!

最初に説明したとおり、この「Y(生産量・供給量)」は「Y(L(p,w,r), K(p,w,r))」と表記できます。

今さらですが、利潤最大化が実現するときの生産量(供給量)を表しているため、これが供給関数となります。

 

北国宗太郎
ぶじ証明出来ました。
次は生産要素の価格で偏微分してみよう!
牛さん


利潤関数(π)を「生産要素の価格(w・r)」で偏微分

ここでは「w」で偏微分してみます

 

さきほどと同じ

  • 利潤=π
  • 生産物価格=P
  • 生産量(供給量)=Y(L(p,w,r), K(p,w,r))
  • 賃金=w
  • 労働の投入量=L(p,w,r)
  • レンタル料=r
  • 資本の投入量=K(p,w,r)

このとき、利潤を「利潤(π)=P・Y(L(p,w,r), K(p,w,r))-(wL(p,w,r)+rK(p,w,r))」と表せます。

 

緑丸部分を微分していきます

 

①まずは「P・Y(L(p,w,r), K(p,w,r))」の部分

 

②次に「-(wL(p,w,r)+rK(p,w,r))」の部分

 

まとめると

 

ここで黄色・青色の枠に注目します

どちらも「∂L/∂w」「∂K/∂w」が含まれているため式をまとめます。

 

利潤最大化条件より

 

残ったのは・・

  • -L(労働の投入量のマイナス)だけ!

最初に説明したとおり、この「L(労働の投入量)」は「L(p,w,r)」と表記できます。

利潤関数(π)を要素価格(賃金:w)で偏微分した結果、利潤最大化が実現するときの労働の投入量(要素需要関数)にマイナスを付けたものとなりました。

 

ちなみに

要素価格(レンタル料:r)でやっても同様の結果が得られます

その場合は「∂π/∂r=-K(p,w,r)」となります。

 

これで証明完了です。

 

北国宗太郎
内容よりも微分の仕方を勉強しないと難しい‥。
中級レベルだと、数学の知識が必須になってくるから勉強を頑張ろう‥!
牛さん

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