【ホテリングの補題】利潤関数を微分して簡単な証明をする

2020年5月10日

中級以上のミクロ経済学で登場する「ホテリングの補題」

証明は教科書にも載っていますが、それでは理解できない人向けに詳しい説明を加えて、出来るだけ簡単な証明を行っていきます。

ホテリングの補題の簡単な証明

(Wikipediaより)

ホテリングの補題とは

利潤関数(π)を「生産物の価格(P)」で偏微分したものが「供給関数(生産量)」に等しく、「生産要素の価格(w･r)」で偏微分したものは「生産要素の投入量(L･K)のマイナス」に等しいことを証明したもの。

実際にそうなるのか確認してみます。

利潤関数(π)を「生産物の価格(P)」で偏微分

はじめに

利潤＝π
生産物価格＝P
生産量(供給量)＝Y
賃金＝ｗ
労働の投入量＝L
レンタル料＝ｒ
資本の投入量＝K

このとき、利潤を「利潤(π)＝PY－(wL＋rK)」と表せます。

確認する

まずこの2つに注目します。

労働の投入量＝L
資本の投入量＝K

利潤が最大化するときの「労働の投入量」「資本の投入量」は要素需要関数と言われています。

要素需要関数は、価格(P)･賃金(w)･レンタル料(r)の3つの文字で表記します。

すると

労働の投入量＝L(p,w,r)
資本の投入量＝K(p,w,r)

L･Kのカッコ内の（p,w,r）は、価格(P)･賃金(w)･レンタル料(r)の3つの要素で構成される(置き換えることが出来る)という意味です。

次に確認する

生産量(供給量)＝Y

利潤が最大化するときの「生産量」は供給関数と言われています。

供給関数は、生産関数に含まれるL･Kを要素需要関数に置き換えます。

すると

生産量＝Y（L(p,w,r), K(p,w,r)）

例えば「生産関数(Y)＝LK」と与えられているとき「LK」に要素需要関数を代入することで供給関数が求められます。

つまり、生産量(Y)はさきほど登場した「L(p,w,r)」「K(p,w,r)」の2つによって構成される(置き換えることが出来る)ことが分かります。

それを「Y（L(p,w,r), K(p,w,r)）」と表しています。

ちなみに

生産物価格＝P
賃金＝ｗ
レンタル料＝ｒ

この3つは、市場価格を受け入れるのでそのままです。

まとめると

利潤＝π
生産物価格＝P
生産量(供給量)＝Y（L(p,w,r), K(p,w,r)）
賃金＝ｗ
労働の投入量＝L(p,w,r)
レンタル料＝ｒ
資本の投入量＝K(p,w,r)

このとき、利潤を「利潤(π)＝P･Y(L(p,w,r), K(p,w,r))－(wL(p,w,r)＋rK(p,w,r))」と表せます。

北国宗太郎

意味は分かったけど、ごちゃごちゃしてるね‥。

ひとまず意味が分かればOKだよ。

牛さん

証明

「利潤(π)＝P･Y(L(p,w,r), K(p,w,r))－(wL(p,w,r)＋rK(p,w,r))」を価格(P)で偏微分して、供給関数になるかを確認する

注意点

微分のやり方に気を付けましょう

「利潤(π)＝PY－(wL＋rK)」なので、価格(P)で微分して「利潤(π)＝Y」とすると話が終ってしまいます。

ここで思い出すのが‥

生産量＝Y（L(p,w,r), K(p,w,r)）
労働の投入量＝L(p,w,r)
資本の投入量＝K(p,w,r)

ポイント

Y･L･Kを構成する要素にも価格(P)が含まれているため、それらも微分します。

緑丸の部分を微分します。

①まずは「P･Y(L(p,w,r), K(p,w,r))」の部分

「∂Y/∂L･∂L/∂P」は「∂Y/∂P」じゃないの(分母分子に∂Lがあるので消せる)？と思うかもしれませんが、この形は後で役立つのでそのまま進みます。

②次に「－(wL(p,w,r)＋rK(p,w,r))」の部分

まとめると

ここで黄色･青色の枠に注目します

どちらも「∂L／∂P」「∂K／∂P」が含まれているため式をまとめます。

ここに注目

ちなみに

利潤最大化条件についてはこちらで確認してください。【完全競争･利潤最大化】条件や求め方･計算方法をグラフを使って理解する※②数式で考えるを参照

以上より

0に何を掛けても0なので、黄色枠と青色枠は消えます。

残ったのは・・

生産量(供給量)＝Yだけ！

最初に説明したとおり、この「Y(生産量･供給量)」は「Y（L(p,w,r), K(p,w,r)）」と表記できます。

今さらですが、利潤最大化が実現するときの生産量(供給量)を表しているため、これが供給関数となります。

北国宗太郎

ぶじ証明出来ました。

次は生産要素の価格で偏微分してみよう！

牛さん

利潤関数(π)を「生産要素の価格(w･r)」で偏微分

ここでは「w」で偏微分してみます

さきほどと同じ

利潤＝π
生産物価格＝P
生産量(供給量)＝Y（L(p,w,r), K(p,w,r)）
賃金＝ｗ
労働の投入量＝L(p,w,r)
レンタル料＝ｒ
資本の投入量＝K(p,w,r)

このとき、利潤を「利潤(π)＝P･Y(L(p,w,r), K(p,w,r))－(wL(p,w,r)＋rK(p,w,r))」と表せます。

緑丸部分を微分していきます

①まずは「P･Y(L(p,w,r), K(p,w,r))」の部分

②次に「－(wL(p,w,r)＋rK(p,w,r))」の部分

まとめると

ここで黄色･青色の枠に注目します

どちらも「∂L／∂w」「∂K／∂w」が含まれているため式をまとめます。

利潤最大化条件より

残ったのは・・

－L（労働の投入量のマイナス）だけ！

最初に説明したとおり、この「L(労働の投入量)」は「L（p,w,r）」と表記できます。

利潤関数(π)を要素価格(賃金:w)で偏微分した結果、利潤最大化が実現するときの労働の投入量(要素需要関数)にマイナスを付けたものとなりました。

ちなみに

要素価格(レンタル料:r)でやっても同様の結果が得られます

その場合は「∂π/∂r＝－K(p,w,r)」となります。

これで証明完了です。

北国宗太郎

内容よりも微分の仕方を勉強しないと難しい‥。

中級レベルだと、数学の知識が必須になってくるから勉強を頑張ろう‥！

牛さん

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