ラグランジュ未定乗数法でミクロ経済学の効用最大化問題を解く

変数「λ (ラグランジュ乗数)」を使って式を作ります。

ラグランジュ関数 L(x, y, λ) ＝ F(x, y)－ λg(x, y)

※λ＝ラムダ
※L＝ラグランジュの頭文字

ラグランジュ関数 L(x, y, λ) ＝ F(x, y)－ λg(x, y)を、3つの文字「x, y, λ」でそれぞれ偏微分すると、上の式になり、途中で説明した通り＝0と出来ます。

※「∂L／∂x」「∂L／∂y」は、x財･y財の限界効用を表しています。

この理由は、こちらの【限界効用】求め方も含めて簡単にわかりやすくで確認してください。※財が2つの場合を参照

実際の計算では、上2つ「X財の限界効用」「Y財の限界効用」を表している式で連立方程式を組みます。この時、上2つで連立方程式を作れば「λ」を消して「x」「y」だけの式になります。

その後に、1番下の式に、求めた結果を代入して計算するという流れになります。

イメージが湧かないかもしれないので、後半でラグランジュ未定乗数法使って問題を解いてみます。

ラグランジュ未定乗数法は、制約条件が「g＝○○」という風に「＝(等号)」で結ばれている必要があります。「≦ (不等号)」がついている場合は使えません。

ただし、大学の学部制レベルの問題なら「≦」でも「＝」的に扱ってラグランジュ未定乗数法を使って解く場合があります。

その辺は、講義を担当している教授の意向に合わせて判断しましょう。

※一応ですが、制約条件が「≦」などの不等号ならば「KKT条件(カルーシュ･クーン･タッカー条件)」という数学の知識を使って解くのが正しいです。

途中で「1階条件」と出てきましたが、本当ならば「2階条件」までを計算しないといけません。

ラグランジュ未定乗数法は、「1階条件」を満たすことで、答えが「極値」を取っている事しか分かりません。(＝極大･極小は分からない状態・さらに厳密に言えば極値の候補が求まっているに過ぎない)

「2階条件」で、その極値が「極大･極小」のどちらかを判断します。

経済学の問題では「効用最大化が実現する」というケースを扱うため、普通は「第2条件」は暗黙の了解で無視されていますが、これも教授の意向に従ってください。

※一応ですが「2階条件」では「ヘッセ行列式」というのを計算します。

最適消費点が「端点解(コーナー解)」だと、ラグランジュ未定乗数法は使えません。

ちなみに「端点解(コーナー解)」になるのは、完全代替財などです。「X財･Y財の関係」が完全代替財ではないことを確認してからラグランジュ法を使ってください。

※ラグランジュの未定乗数法では「内点解」の答えしか求まりません。最適消費点が「端点解(コーナー解)」の場合は、この条件を満たさないため、計算しても正しい答えが出ないです。

ちなみに「内点解」というのは「答えに0が含まれていない」状態です。必ず(x=1, y=2)などのように、0以外の数字になります。

逆に「端点解(コーナー解)」では「答えに0が含まれる」状態です。(x=0, y=2)など。このような端点解(コーナー解)は、先ほど登場した「KKT条件(カルーシュ･クーン･タッカー条件)」を使えば解けます。

効用関数が「レオンチェフ型」だと、ラグランジュ未定乗数法は使えません。

ちなみに、レオンチェフ型の効用関数は、2財が完全補完財のケースです。「X財･Y財の関係」が完全補完財ではないことを確認してからラグランジュ法を使ってください。

※レオンチェフ型の効用関数では、無差別曲線の傾きが90度(直角L字型)になります。

この直角のポイントが最適消費になりますが、急激に尖とがったようなポイントは微分できません。そのため、ラグランジュの未定乗数法で計算しても正しい答えが出ないです。

ここでは、ミクロ経済学の効用最大化問題をもとにラグランジュ未定乗数法の説明をしました。

数学的にラグランジュ未定乗数法を説明すると、全然話が変わってくるので注意してください。あくまで、効用最大化問題が解けるように、経済学っぽく説明してきたつもりです。

「x」で偏微分するなら「x」という文字がついていない部分は無視されます。※あくまで微分は変化量(xという数量が変化したら式の答えがどう変化するか？)を見るため。

微分は乗数を1減らして、手前に持ってくる作業です。「x」＝「xの1乗」なので「1xの0乗」となります。※「●●の0乗＝1」となります。