経済学

【端点解・コーナー解】完全代替材で生じる最適消費点が特殊なパターン

完全代替財などで登場する「端点解(コーナー解)」

  • 端点解(コーナー解)とは?
  • 端点解と完全代替財
  • 端点解とリニア型の効用関数
  • 端点解のパターン

最適消費を求める問題を解くと、途中で計算できないケースがあります。その最適消費は「端点解(コーナー解)」かも。

端点解(コーナー解)では、加重限界効用均等の法則やラグランジュ未定乗数法が使えません。端点解(コーナー解)をしっかりと理解していれば、そんな状態は防ぐことが出来ます

端点解(コーナー解)とは?

端点解(コーナー解)

最適消費量の答えに「0が含まれる」とき、その答えを端点解という。2財の(x, y)の最適消費量が「0=x, y>0」もしくは「x>0, y=0」のどちらかの場合をいう。

逆に「0が含まれない」最適消費量は内点解という。(x=1,y=2)などの普通の答え。

 

北国宗太郎
答えに0が含まれると特別な意味があるのかな?
うん。最適消費点を求めるときに重要だよ。
牛さん

 

端点解では、計算問題を解くときにイレギュラーが発生する

  1. 加重限界効用均等の法則が使えない
  2. ラグランジュ未定乗数法が使えない

上の2つは、端点解では答えが出ないので注意してください。

 

北国宗太郎
計算前に端点解になるって分からないような・・。
実は、ある程度は分かるんだ。
牛さん

 

端点解になるケース

効用関数(U)が「x+y」などの足し算のケースは注意。

 

効用関数が「x+y」なら、端点解になる可能性があるので注意が必要です。

「x+y」などの効用関数を「リニア(linear=線形)」と呼びます。

 

足し算になる理由

一般的な効用関数(U)は「U=x・y」などのように掛け算になっています。

2財を消費することで、相乗効果を生んで効用が高まるとイメージすれば分かりやすいです。

 

しかし

一方で、効用関数が「U=x+y」なら「x」「y」には関係性がありません。(2つ消費しても相乗効果が得られない。)

このような財を完全代替財と呼びます。「どっちでも良い」という財です。

 

例えば

  • 5,000円札と1,000円札*5枚を考えてみます。

どちらかを消費することで効用が得られますが、買い物が出来れば「5,000円札」「1,000円札*5枚」どっちでも良いです。

 

ポイント

このように、X財・Y財にどっちでも良いもの(完全代替財)が並んだ時に、効用関数が「U=x+y」などの足し算になります

他にも「バターとマーガリン」など、人によってはどっちでも良いモノ(完全代替財)が、リニア型の効用関数になります。

 

北国宗太郎
つまり、完全代替財 ⇒リニア型の効用関数 ⇒端点解になるケースがあるってことだね。
その通りです!!
牛さん

 

ちなみに、完全代替財の無差別曲線は、次のような直線になります。

グラフで見ると

「U=x+y」のときの無差別曲線

 

「完全代替財」や「リニア型の効用関数」などの基礎知識が分かったところで、実際に端点解が出現するケースを見ていきましょう!

 

端点解① 縦軸上に最適消費点

ポイント

縦軸上に最適消費点が出現する場合、端点解(コーナー解)となります。

 

ここでは

  • 縦軸:Y財の消費量=y
  • 横軸:X財の消費量=x
  • Y財の価格=Py
  • X財の価格=Px

予算制約線「I=xPx+yPy」と効用関数「U=x+y」から導かれる無差別曲線がグラフに描かれる。

最適消費点で「y=0」ということは、Y財を消費せずに、X財だけを消費すれば効用最大化が実現するという事になる。

 

ポイント

  • X財・Y財は完全代替財なので、どちらを消費しても同じ
  • X財の方が安いため(Py >Px)、全てX財を消費した方が良い

X財の方が価格が安い場合「予算制約線の傾き」と「無差別曲線の傾き」は下のような関係になっています。

 

傾き(勾配こうばい)に注目する

ポイント

ここでは「Px/Py >1」ならば縦軸(Y軸)上に最適消費点が現れるため端点解となる。

下線の部分は、下記のように表現したりします。

  • 予算制約線の方が無差別曲線よりも急勾配
  • 予算制約線の方が無差別曲線よりも傾きが(絶対値で見て)大きい

 

北国宗太郎
段々と理解してきました。次は逆ってことだね?
その通りです。今度はY財の方が安いケースを確認しよう。
牛さん

 

端点解② 横軸上に最適消費点

ポイント

横軸上に最適消費点が出現する場合、端点解(コーナー解)となります。

 

先ほどと同じく

  • 縦軸:Y財の消費量=y
  • 横軸:X財の消費量=x
  • Y財の価格=Py
  • X財の価格=Px

予算制約線「I=xPx+yPy」と効用関数「U=x+y」から導かれる無差別曲線がグラフに描かれる。

最適消費点で「x=0」ということは、X財を消費せずに、Y財だけを消費すれば効用最大化が実現するという事になる。

 

ポイント

  • X財・Y財は完全代替財なので、どちらを消費しても同じ
  • Y財の方が安いため(Py< Px)、全てY財を消費した方が良い

Y財の方が価格が安い場合「予算制約線の傾き」と「無差別曲線の傾き」は下のような関係になっています。

 

傾き(勾配こうばい)に注目する

ポイント

ここでは「Px/Py < 1」ならば横軸(X軸)上に最適消費点が現れるため端点解となる。

下線の部分は、下記のように表現したりします。

  • 予算制約線の方が無差別曲線よりも勾配が緩やか
  • 予算制約線の方が無差別曲線よりも傾きが(絶対値で見て)小さい

 

北国宗太郎
端点解マスターしました。
最後に例外を紹介するね。
牛さん

 

【例外】予算制約線と無差別曲線が重なる

 

北国宗太郎
最適消費点が分からない・・。
完全代替財でも端点解にならない例外があるから気を付けよう。
牛さん

 

この場合

予算制約線と無差別曲線が重なっている部分は、全て最適消費が実現していると考えます。

 

どの点でも最適消費が実現するようなケースでは、「x」「y」の値を不等号を使って表します

 

北国宗太郎
もう数学の問題みたいだね。。
問題になることは少ないから、端点解をしっかり理解しよう!
牛さん

 

ポイント

完全代替財では、リニア型の効用関数「U=x+y」などの足し算型)になる。その場合、無差別曲線が直線になるため、縦軸上 or 横軸上に最適消費点が求まる。

軸上の最適消費点は、答えに「0」が含まれるため端点解である。端点解では「加重限界効用均等の法則」「ラグランジュ未定乗数法」などが使えないため注意する。

 

北国宗太郎
見逃したら、計算出来ずに混乱しそう。
最適消費を計算する問題では、完全代替財には気を付けよう!
牛さん

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