【シュタッケルベルグ競争】均衡や計算問題の求め方を分かりやすく

ここで扱うシュタッケルベルグ･モデルは20世紀前半※に登場したモデルです。19世紀に登場したクールノーやベルトランとは違い、「情報」と「順番(時間の経過)」という2つの要素が盛り込まれている点が大きな特徴です。

このモデルをゲーム理論で考えると「完全情報における展開型ゲーム」に当てはまる。「完全情報≒情報」「展開型ゲーム≒順番(時間の経過)」という要素を表している。

※1934年に発表した『Marktform und Gleichgewicht (Market Structure and Equilibrium)』という書籍で発表された。

QRコードサービスを「キャンペーンを行って(＝生産して)、実際に使ってもらう(＝消費してもらう)」と考えれば、シュタッケルベルク競争に近いことが起こっているのではないでしょうか。

特にpaypayは、当初「100億円あげちゃうよキャンペーン」などを実施していました。その後、ライバルA社は、追随して数十億円程度のキャンペーンで追随しています。

paypayがキャンペーンを実施すると聞けば、ライバル企業は、それよりも規模を落としてキャンペーンを実施します（paypayが最初のキャンペーンで大量のユーザーを囲い込んだので、全部を巻き返すのは無理だから）。

社長の狙い通り、作り込んだ商品で勝負したアース製薬は市場シェアを確立しました。追随したライバル他社は、この商品の残りの市場シェアを奪うにとどまります。「先導者が生産量を決定、追随者はその後に生産量を決定する」というシュタッケルベルク競争に近い流れになっています。

仮に2万個作って100円で売るとき「100円(P)×2万個(x)」です。
費用が1個当たり20円かかるなら「20円(C)×2万個(x)」です。

よって企業Bの利潤「π＝100×2万－20×2万」

文字式に置き換えると
π[b]＝P･x[b]－C･x[b]

教科書などでは添え字で「b」とか「1」など掛かれていますが、表現しきれないので[b]とつけて、π[b]やx[b]で企業Bの利潤や生産量を表しています。

⇒「π[b]＝(a－b (x[a]＋x[b])･x[b]－C･x[b]」
全体を「x[a]」でくくる

⇒「π[b]＝(a－b (x[a]＋x[b])－C)･x[b]」
カッコ内(－bの部分)を展開する

⇒「π[b]＝(a－b･x[a]－b･x[b]－C)･x[b]」

企業Bの最適な生産量が求まりましたが、注意点があります。

この計算段階では、企業Aの生産量(xa)が文字として残っており、あくまで「企業Aの生産量(xa)に、この数式のように対応する」という戦略を表しています。

意味が分からなければ一旦飛ばしてOKです。

企業Aが最初に生産を開始して、それを見た企業Bも追随して生産を行います。企業Bが追随してきた状況を考慮して、最終的に企業Aは上記の生産量に落ち着きます。

・x[a]＝(a－C)/2b

最終的に、企業Aと企業Bは上記の生産量(戦略)と取る。

シュタッケルベルグ競争の結果、たどり着いた2社の生産量(戦略)をシュタッケルベルグ均衡（部分ゲーム完全均衡）と呼ぶ。

シュタッケルベルグ均衡は「2社は、最終的にこの戦略(数式)で生産量を決めます」というものです。その均衡における具体的な生産量が上記となります。

違いが分からない人は、計算問題で「シュタッケルベルグ均衡を求めよ」と言われたら、先ほどの答えを計算する。

「シュタッケルベルグ均衡における生産量を求めよ」と言われたら、上記の具体的な生産量を計算する。

シュタッケルベルグ競争は、企業Aと企業Bが順番に生産量を考えていくモデルのため「具体的な生産量を均衡点とは考えない」で、「2社が生産量を決定するために取る戦略の組合せ」を均衡と考えている※。

※「相手の行動を見ながら戦略を考える」というのは動的な(=たえず状況が変化する)状態なので「具体的な数字(生産量)がこうなる」と考えるよりも「お互いは、こういう戦略を取る」と考える方が応用が利く。この戦略の組合せ(「お互いは、こういう戦略を取る」)をゲーム理論では「部分ゲーム完全均衡」と呼び、シュタッケルベルグ均衡は「部分ゲーム完全均衡」に当てはまる。

この2つの式は、企業Aと企業Bの利潤式を「微分してイコール0」と置いたときの式です。シュタッケルベルク競争が行われているときの利潤最大化式を表す（1階条件）。

この式を「生産量(x)＝～」の形にすれば最適反応曲線となります。

初めて見る人は、グラフが少し分かりづらいかもしれません。ただ、2つの式が対照的でほとんど同じなので、グラフも似たような感じになっている程度でOKです。

ちなみに2つの最適反応曲線が交わっている点はクールノー均衡です。

シュタッケルベルク競争で「企業Aを先導者」「企業Bを追随者」と考えます。

企業Aは先に「xa」だけ生産しています。その後、企業Bは「企業Aは「xa」くらい生産している」と分かりました。イメージですが、企業Aの最適反応曲線が分かったような感じです。

企業Bは「企業Aは「xa」くらい生産している」と分かったので、自社の最適反応曲線に沿って「クールノー均衡」の部分で生産量を決定します⇒「(a－C)／3b」

企業Aは、企業Bの行動を想定して自社の生産量を調整(増産)しました（企業Bの最適反応曲線上に生産量を動かせば、企業Bもさらに対応してくる）。

⇒「(a－C)／2b」

企業Bは、最終的に企業Aの行動に合わせて自社の生産量を調整(減産)します。

⇒「(a－C)／4b」

シュタッケルベルク均衡におけるA社･B社の生産量は

• xa＝(a－C)／2b
• xb＝(a－C)／4b

シュタッケルベルク均衡を計算したときの数値例を使っています。

企業Aが100の利潤を実現しようとするとき、2社の生産量の組合せが複数あります。例えば次の2つです（実際にそうなるとかではなく、あくまでイメージです）。

• （企業Aの生産量10・企業Bの生産量50）
• （企業Aの生産量30・企業Bの生産量40）

このように、同じ利潤を実現させる生産量の組合せを結んでいくとピンク色の点線になります。これが等利潤線と呼ばれるものです。

利潤が大きくなると等利潤線も下方向へ移動します。というのも、一般的に生産＆販売量を増やすほど利潤が増えるはずです。

なので、企業Aが生産量を増やすほど利潤も大きくなる＝等利潤線は右下方向へ移動します。

ここで、クールノー均衡とシュタッケルベルク均衡に接する等利潤線を考えます。

グラフより、クールノー均衡よりもシュタッケルベルグ均衡の方が右下にあります。

つまり「クールノー均衡に接する等利潤線」よりも「シュタッケルベルグ均衡に接する等利潤線」の方が右下に位置しています。

企業Aの視点で考えると、利潤が大きくなるほど等利潤線は右下へ移動するという話だったので、企業Aにとっては、シュタッケルベルグ均衡のときの方が利潤が大きくなることが分かります。

企業Bの場合、等利潤線が左上に行くほど利潤が大きくなります（企業Aの生産量(xa)は横軸に取っていましたが、企業Bの生産量(xb)は縦軸に取っている影響）。

逆を言えば、企業Bは、右下に位置する等利潤線の方が利潤が小さいです。

つまり、企業Bにとっては、シュタッケルベルグ均衡のときの方が利潤が小さくなることが分かります。

クールノー競争よりもシュタッケルベルグ競争によって

• 先導者となる企業(ここでは企業A)は利潤が大きくなる
• 追随者となる企業(ここでは企業B)は利潤が小さくなる

いま、このような展開図（ゲームの木）があります。このとき、企業Aは次のような行動を取ります（数値は例です）。

《企業Aが300の生産量とするとき》

企業Bが150生産するか or 200生産するかを選択するとき「利潤62を得られるので150生産する方がよい（200を生産して利潤50を得るときと比べて）」

⇒なので、企業Aは当初の狙い通り、300の生産量を実施すればよい。

「企業Aが300」「企業Bが150」生産するというのがシュタッケルベルグ均衡となる。

企業Aが300生産すると「企業Bは150生産するか or 200生産するかを選択する」ことになります。ゲーム理論ではこれを部分ゲームと呼びます（緑色の枠内）。

このとき、企業Xを先導者･企業Yを追随者（企業Xの生産量を所与として利潤最大化を目指す）として、シュタッケルベルグ均衡における下記2つを求めよ。

1. 価格
2. 2社の利潤

企業Xは「生産量(x)＝6」「利潤(πx)＝18」となる。

企業Yは「生産量(y)＝2」「利潤(πy)＝4」となる。