カルテル(結託)と各市場との比較･計算問題の解き方

世界中で企業がカルテルを結ぶことは禁止されています。なぜそのような決まりがあるのか、カルテルを経済学の視点で考えていきます。

• カルテル（結託･共謀）とは
• カルテルを数式で考える
• 完全競争市場やクールノー競争との比較
• 計算問題の解き方

カルテル（結託･共謀）とは

 

市場では、価格や生産量は市場競争によって決まります。

しかし、複数の企業がカルテルを行うと「価格が高止まり」したり、「生産量が調節される」などの弊害が生まれて、市場が非効率的になる。

 

 

 

 

 

数式で考える

いま、企業2社がカルテルを結ぶことを考える。なお、市場はこの2社で寡占されている。カルテルを結ぶと市場価格や生産量がどのようになるのかを考える。

• 価格＝P
• 企業Aの生産量＝Ya
• 企業Aの費用＝Ca
• 企業Bの生産量＝Yb
• 企業Bの費用＝Cb

2社の利潤関数(π)は「利潤(π)＝(価格)×(生産量)－(費用)×(生産量)」なので

• （企業Aの利潤）πa＝P･Ya－Ca･Ya
• （企業Bの利潤）πb＝P･Yb－Cb･Yb

A社･B社は、カルテルを結び1つの企業グループのように行動するため、2社の利潤関数を合体する（足し合わせるだけ）。

 

• (πa+πb)＝P･Ya＋P･Yb－Ca･Ya－Cb･Yb

YaとYbで括(くく)ります。
※(πa+πb)＝πとする

• π＝P･Ya＋P･Yb－Ca･Ya－Cb･Yb
• π＝(P－Ca)･Ya＋P･Yb－Cb･Yb
• π＝(P－Ca)･Ya＋(P－Cb)･Yb

 

ここで、各企業は利潤最大化を目指して活動するので、企業Aと企業Bの利潤最大化を求めます。数学的には、企業の利潤最大化条件より「利潤関数を生産量で微分して＝0」とする。

 

• Yaで微分する

π＝(P－Ca)･Ya＋(P－Cb)･Yb
πa’＝P－Ca＝0

 

• Ybで微分する

π＝(P－Ca)･Ya＋(P－Cb)･Yb
πb’＝P－Cb＝0

 

企業A･企業Bが利潤最大化を目指すとき、それぞれ下記の数式の状態になることが分かりました。

• πa’＝P－Ca＝0
• πb’＝P－Cb＝0

つまり「P－Ca＝P－Cb」となります。

 

• P－Ca＝P－Cb
• Ca＝Cb　です

 

ここでCaとCbは

• 企業Aの費用＝Ca
• 企業Bの費用＝Cb

を表していました。

 

 

企業Aの方が商品1個当たりの費用が小さく済むようなら、企業Aの方がたくさん生産して、企業Bの生産量を小さくするように共謀するはずだ、ということを表しています。

 

数学的には、それが繰り返されていくと企業Aは過剰生産気味になるので、コストがひっ迫します。

すると、企業Aの費用的な優位性が無くなります。なので企業Aと企業Bの生産量はバランスよいところで落ち着くと考えているわけです。

 

 

でわ「Ca＝Cb」と分かったところから続きです。

「Ca＝Cb」なので、まとめて

• Ca＝Cb＝C とします。

 

2社の利潤関数を合体させた下の数式のうち「Ca」「Cb」を「C」に置き換えます。

• π＝(P－Ca)･Ya＋(P－Cb)･Yb
• π＝(P－C)･Ya＋(P－C)･Yb
• π＝(P－C)(Ya＋Yb)

 

 

次に「Ya＋Yb」の部分を考える。

 

市場の総需要量を「x」と表すと‥

• x＝Ya＋Yb

したがって

• π＝(P－C)(Ya＋Yb)
• π＝(P－C)(x)
• π＝(P－C)･x

 

• 市場の逆需要関数(D)「P＝a－b･x」と考える

 

先ほどの式に逆需要関数を代入します。

• π＝(P－C)･x
• π＝(a－b･x－C)･x

 

 

さきほどまでは、企業Aと企業Bの利潤最大化を考えてきました。

 

利潤最大化条件より、市場全体の生産量･需要量である「x」で微分して「=0」とします。

• π＝(a－b･x－C)･x
• π＝a･x－b･x^2－C･x
• π’＝a－2b･x－C＝0

 

「x」の値を求めます。

• a－2b･x－C＝0
• a－C＝2b･x
• (a－C)/2b＝x
• x＝(a－C)/2b

 

最後に市場価格を求めます。市場の逆需要関数(D)「P＝a－b･x」と考えていたので、この式に上記の式を代入します。

• P＝a－b･x
• P＝a－b･(a－C)/2b
• P＝a＋(－a＋C)/2
• P＝(a＋C)/2

 

 

企業A･企業Bが寡占している市場で、2社がカルテルを結んだとき、市場価格と生産量･需要量は下記の通りになる。

• P＝(a＋C)/2
• x＝(a－C)/2b

 

 

 

他の市場との比較

ここから先は、カルテルが結ばれたときの市場の状態を「完全競争市場」「クールノー競争」「シュタッケルベルグ競争」「独占市場」と比較します。

(1)～(4)で少々細かく比較して、(5)でまとめに入ります。細かな話が嫌いな人は(5)から確認してください！

 

（1）完全競争市場との比較

 

下記条件で完全競争市場の生産量と価格を考えます。

• 市場の逆需要関数(D)「P＝a－b･x」
• 費用関数(C)「C･x」

 

完全競争市場の利潤最大化条件「P(価格)＝MC(限界費用)」より

• 「P＝a－b･x＝C」

 

市場全体の生産量(x)は‥

・a－b･x＝C
・a－C＝b･x
・x＝(a－C)/b

 

完全競争市場の価格は「P＝C」となりますが、カルテル時は「P＝(a＋C)/2」となります。一応、完全競争市場よりも価格が高止まりするのですが、簡単に証明します。

• 完全競争：P＝C
• カルテル：P＝(a＋C)/2

（どちらも2倍します）

• 完全競争：2C
• カルテル：a＋C

 

より厳密な照明は専門書に譲り、ここでは簡易的にグラフで判断します（どういう風にやればいいか思いつきませんでした･･）。

 

通常、需要関数(D)と限界費用(MC)は次のような関係になる。

 

以上より、カルテル時の市場価格「P＝(a＋C)/2」は、完全競争市場の価格「P=C」よりも高くなる。

 

（2）クールノー競争との比較

 

下記条件で複占市場でクールノー競争が起こった場合の生産量と価格を考えます。

• 市場の逆需要関数(D)「P＝a－b･x」
• 費用関数(C)「C･x」

 

計算すると次の通りになります（詳細は下記リンク参照）

• クールノー競争の生産量＝2/3･(a－C)/b
• クールノー競争の価格＝(a＋2C)/3

 

カルテル時の生産量と比較します

 

カルテル時の価格と比較します

• クールノー：(a＋2C)/3
• カルテル：(a＋C)/2

（両方とも6倍）

• クールノー：6(a＋2C)/3＝2a＋4C
• カルテル：6(a＋C)/2＝3a＋3C

 

ここからは、完全競争市場と同じ論法を使い、グラフで判断します（どういう風にやればいいか思いつきませんでした･･その2）。

 

「－a＋C」は「a」の方が大きくなるのでマイナスになる。

したがって、カルテル時の市場価格「P＝(a＋C)/2」は、クールノー競争の価格「P＝(a＋2c)/3」よりも高くなる。

 

（3）シュタッケルベルグ競争との比較

 

下記条件で複占市場でシュタッケルベルグ競争が起こった場合の生産量と価格を考えます。

• 市場の逆需要関数(D)「P＝a－b･x」
• 費用関数(C)「C･x」

 

計算すると次の通りになります。

（シュタッケルベルグ競争の生産量）

• 企業A：(a－C)/2b
• 企業B：(a－C)/4b

⇒市場全体の生産量は2つを足せばよいので「(3a－3C)/4b」

 

（シュタッケルベルグ競争の価格）

逆需要関数「P＝a－b･x」へ上記の生産量を代入する。

• P＝a－b･x
• P＝a－b･(3a－3C)/4b
• P＝a－(3a－3C)/4
• P＝(1/4)a+(3/4)C

 

カルテル時の生産量と比較します

 

カルテル時の価格と比較します

• シュタッケルベルグ：(1/4)a+(3/4)C
• カルテル：(a＋C)/2

（両方とも4倍）

• シュタッケル：4((1/4)a+(3/4)C)＝a＋3C
• カルテル：4((a＋C)/2)＝2a＋2C

 

ここからは、完全競争市場と同じ論法を使い、グラフで判断します（どういう風にやればいいか思いつきませんでした･･その3）。

 

「－a＋C」は「a」の方が大きくなるのでマイナスになる。

したがって、カルテル時の市場価格「P＝(a＋C)/2」は、シュタッケルベルグ競争の価格「P＝(1/4)a+(3/4)C」よりも高くなる。

 

（4）独占市場との比較

 

下記条件で複占市場でクールノー競争が起こった場合の生産量と価格を考えます。

• 市場の逆需要関数(D)「P＝a－b･x」
• 費用関数(C)「C･x」

 

独占市場の利潤最大化条件「MR(限界収入)＝MC(限界費用)」より

• 「MR＝a－2b･x」
• 「MC＝C」
• 「a－2b･x＝C」

 

市場全体の生産量(x)は‥

・a－2b･x＝C
・a－C＝2b･x
・x＝(a－C)/2b

 

独占市場の価格は、市場の逆需要関数(D)「P＝a－b･x」に、先ほどの「x＝(a－C)/2b」を代入すれば求まります。

• P＝a－b･x
• P＝a－b･(a－C)/2b
• P＝a－(a－C)/2
• P＝a＋(－a＋C)/2
• P＝(a＋C)/2

 

（5）まとめ(重要)

 

それぞれの市場では、均衡価格･生産量は下記の通りになる。

 

価格

• カルテル：P＝(a＋C)/2
• クールノー：P＝(a＋2C)/3
• シュタッケル：P＝(a＋3C)/4
• 完全競争：P＝C

 

生産量

• 完全競争：x＝(a－C)/b
• シュタッケル：x＝3(a－C)/4b
• クールノー：x＝2(a－C)/3b
• カルテル：x＝(a－C)/2b

 

 

計算問題の解き方

 

いま、企業Xと企業Yの2社が支配する複占市場を考える。

• 需要関数:D＝12－P
• X社の生産量＝x
• Y社の生産量＝y
• X社の費用関数(C)＝2x
• Y社費用関数(Cy)＝2y

※2社の費用関数は同一と考える。

 

複占市場なので2社が生産したものが需要される

• 需要(D)＝「X社の生産量＋Y社の生産量」

よって「(D＝)12－P＝x＋y」⇒「P＝12－x－y」となる

 

 

step
1限界収入(MR)を求める

独占市場では、逆需要曲線(P=～)の傾きを2倍すれば限界収入になります。

 

step
2限界費用(MC)を求める

• X社費用関数(Cx)＝2x
• Y社費用関数(Cy)＝2y

問題文に「2社の費用関数は同一と考える」とあったので･・

• 2x＝2y ⇒「x＝y」

⇒「xとy」を「z」として両社の費用関数を「2z」とします。

 

費用関数「2z」を微分すれば限界費用になります。

・費用関数＝2zを「z」で微分する
・MC＝2

 

step
3MR＝MCより

• MR=12－2(x＋y)
• MC=2

 

step
4需要曲線に代入する

・「(D＝)12－P＝x＋y」
・「12－P＝5」
・「P＝7」

 

step
5利潤を計算する

全体の利潤は「市場価格(P)×生産量－総費用(費用×生産量)」

• 市場価格(P)＝7
• 生産量(x＋y)＝5
• 総費用(2z)＝2×5＝10

 

2社は利潤を半分ずつ配分するので

• x社の利潤(πx)＝12.5
• y社の利潤(πy)＝12.5