【完全競争･利潤最大化】条件や求め方･計算方法をグラフを使って理解する

「完全競争市場の利潤最大化」

• 利潤最大化の意味
• 利潤最大化の考え方
• 利潤最大化で微分が登場する理由
• 利潤最大化条件の計算方法
• 利潤最大化と限界生産力(MP)
• 費用関数から利潤最大化を求める
• 生産関数から利潤最大化を求める

生産者理論で重要な項目の1つである「利潤最大化」についての情報を、簡単に分かりやすくまとめました。

利潤最大化とは？

 

 

利潤は「機会費用」を考慮している

 

企業が自社で保有している土地を

• 畑にする？
• 工場にする？

と迷っていた時を考えます。

 

このとき「利益」を計算するには工場を建てる時に発生した「100万円」を使います。⇒「利益=－100万円」

 

「利潤」は、建設費「100万円」＋「仮に、畑にして作物を作っていた時に得られていただろう利益」も考慮して計算します。

 

 

 

ただし

• 利潤･利益の違いはそんなに気にしなくてよい

ミクロ経済学で登場する「利潤最大化問題」では「利潤＝利益」と考えて差し支えないので、気にせずに計算を進めてOKです。

 

利潤最大化条件

 

完全競争市場における利潤最大化が理解出来ない人向けに

• そもそもの考え方
• 実際の文字式で考える

2つの段階に分けて説明をしていきます。

 

①考え方を理解する

 

利潤を求めるには

 

つまり「利潤(π)＝総収入－総費用」となります。基本はこの式をもとに考えを進めていくので、しっかりと押さえましょう。

次は具体例をもとに話を進めていきます。

 

例えば

• ある企業が自動車の生産販売を行っています

 

この企業は、自動車の大量生産を実現しており、手ごろな価格で車を販売しています。

 

• この時、企業は作って売れば売るほど利潤が発生します

 

 

この企業は、無理に生産販売を続けた結果、生産効率が落ちていき費用が余計に掛かるようになりました。

 

 

• 完全競争市場ではライバル企業が多数いるため、安易に値上げ出来ません

 

• 総収入と総費用の関係は次のようになります

 

 

• 限界収入(MR)と限界費用(MC)で考える

 

まずは、矢印が一番長くなる瞬間のグラフを見てみましょう。

 

総収入曲線･総費用曲線の「傾き」がキーワードになります。「傾き」と限界収入(MR)と限界費用(MC)の関係について順番に見ていきましょう。

 

step
1「総収入曲線の傾き=限界収入」について

先ほど説明した通り、完全競争市場では販売価格(P)は一定なので、収入の増加は常に一定です。

 

• 1台100万円の車を販売する

 

ここで2つ重要なことがあります。

 

• 総収入曲線(TR)の傾きです

1台生産をして販売すれば100万円の収入増になるため、直線の式は次のようになります。

• 総収入曲線(TR)=100万円×生産量(Q)

 

 

自動車を1台売ったときに発生する、売上の増加分のこと（生産物を1単位当たり売却した時に得られる収入の増加分）を限界収入(MR)と呼びます。

 

 

 

step
2「総費用曲線の傾き=限界費用」について

先ほど説明した通り、総費用曲線(TC)は、生産の効率性によって増加具合が変化します。

つまり、生産が効率的か･過剰生産かによって費用が変化する

 

 

先ほどは、具体的に「1台生産したとき」と考えましたが、それでは傾きが分かりません。そこで「1台生産したとき」と考えず「1よりも小さい点」で考えます。

 

先ほどと同じように「総費用曲線(TC)の接線の傾き=限界費用(MC)」となります。

 

 

先ほどの例で考えれば自動車を1台生産したときに発生する、費用の増加分のこと（生産物を1単位当たり生産した時に発生する費用の増加分）を限界費用(MC)と呼びます。

 

これではイメージしづらいと思いますので、先ほどの自動車の例で考えます。

 

例えば①

• 1台100万円の車を販売する
• この1台の製造費は60万円

 

 

• 総収入曲線(TR)の傾き=限界収入(MR)=100万円
• 総費用曲線(TC)の傾き=限界費用(MC)=60万円

 

例えば②

• もう1台車を100万円で販売する
• この1台の製造費は100万円かかった

 

 

• 総収入曲線(TR)の傾き=限界収入(MR)=100万円
• 総費用曲線(TC)の傾き=限界費用(MC)=100万円

 

例えば③

• もう1台車を100万円で販売する
• この1台の製造費は150万円かかった

 

 

• 総収入曲線(TR)の傾き=限界収入(MR)=100万円
• 総費用曲線(TC)の傾き=限界費用(MC)=150万円

 

step
3「価格=限界収入=限界費用」について

まとめ

• 例①～③をまとめると‥

①「総収入曲線(TR)の傾き＞総費用曲線(TC)の傾き」⇒追加の利潤がプラス

②「総収入曲線(TR)の傾き＝総費用曲線(TC)の傾き」⇒追加の利潤が0円

③「総収入曲線(TR)の傾き＜総費用曲線(TC)の傾き」⇒追加の利潤がマイナス

 

追加の利潤が0円になるまで製造販売を行えば、利潤を拡大することが出来る。別の言い方をすれば、利潤が0円になるまで製造販売をすれば、利潤が最大化する。

 

更に…

• 総収入曲線(TR)の傾き＝限界収入(MR)
• 総費用曲線(TC)の傾き＝限界費用(MC)

となるため「限界収入(MR)＝限界費用(MC)」で利潤が最大化するとも言えます。

 

完全競争市場では、限界収入(MR)は販売価格(P)と同じです。

 

以上より

• 総収入曲線(TR)の傾き＝限界収入(MR)＝価格(P)
• 総費用曲線(TC)の傾き＝限界費用(MC)

となるため「価格(P)＝限界費用(MC)」で利潤が最大化するとも言えます。

 

 

 

 

step
4微分について

これまでの説明から、利潤最大化を求めるには「総収入曲線(TR)の傾き･総費用曲線(TC)の傾き」を求めれば良いことが分かったかと思います。

 

ここで、この傾きを求めるために「微分」が登場します。

この2つの傾きは微分をすれば求められる

 

• 「利潤(π)＝総収入(TR)－総費用(TC)」を微分すれば、それぞれの傾きが得られます

微分すると…「総収入曲線(TR)の傾き－総費用曲線(TC)の傾き」となります。

改めてですが、それぞれ限界収入･限界費用ともなります
・総収入曲線(TR)の傾き＝限界収入(MR)
・総費用曲線(TC)の傾き＝限界費用(MC)

 

 

重要

まとめると、計算問題では「利潤(π)＝総収入(TR)－総費用(MC)」を微分して「＝0」とすれば、利潤(π)を最大化した状態になる。

 

 

利潤最大化問題を解けるように、次は、実際の文字式で考えられるようにしましょう。

②数式で考える

 

• 利潤=π
• 価格=P
• 生産量=Y
• 労働量=L
• 賃金=w
• 資本量=K
• レンタル料=r

 

• 「利潤(π)＝(PY)－(wL＋rK)」の利潤を最大化させるために微分して「＝0」とする

 

• 総収入＝価格(P)×生産量(Y)
• 総費用＝賃金(w)×労働量(L)＋レンタル料(r)×資本量(K)

総収入(TR)と総費用(TC)にあたる点線部分を微分していきます。

このとき、重要なポイントが2つあります。

 

1つ目

• ここで注目するのは「労働量(L)･資本量(K)」です

 

 

2つ目

• 生産量(Y)は、通常「労働量(L)･資本量(K)」によって決まる

 

 

 

 

実際に微分をしてみましょう！

 

（wL＋rK）の部分は、この時点で実際に計算が可能なので、計算しています。

例えば「L」で偏微分すると‥

 

 

 

この2つの式を「利潤最大化条件（1階条件）」と言います。

 

 

 

「w／∂Y/∂L」「r／∂Y/∂K」の部分が限界費用(MC)です

イメージが湧きづらいと思いますので「生産関数(Y)=Ｌ」の場合を考えます。

 

すると「利潤(π)＝(PY)－(wL＋rK)」は「利潤(π)＝(PL)－(wL＋rK)」となります。

 

 

 

ここまで理解出来れば、あとは実際の問題を解いていくことが重要です。

最後に大学でミクロ経済学を学習している人向けに「限界生産力(MP)」「生産要素価格」「限界生産物価値」との関係を紹介します。少し混乱するかもしれないので、不要な人は飛ばして大丈夫です。

 

限界生産力･要素価格との関係

 

実はこの部分、限界生産力(MP)を表しています

 

なので、利潤最大化条件を次のように表記することがあります。

 

 

「限界生産物価値」と「要素価格」

 

なので、利潤最大化条件を次のように表記することがあります。

 

このように、数式を変形した形で利潤最大化条件(1階条件)とすることがあるので、頭の片隅にでも入れておきましょう。

求め方･計算方法

 

利潤最大化問題の形式は大きく2つあります。

• 費用関数(C)から求める
• 生産関数(Y)から求める

 

それぞれの例題を解いて、イメージを掴みましょう。

 

費用関数(C)から求める

 

総費用関数(TC)から求める

 

次の費用関数(C)と価格(P)が与えらえれているとき、完全競争市場において企業の利潤が最大化する最適生産量を求める。※Qは生産量を表す

• 
• 価格(P)＝21

 

 

• 価格(P)＝21と与えられているため、まずは限界費用(MC)を求める。

 

費用関数(C)を生産量(Q)で微分すれば限界費用になる

　を微分すると

• 

 

「価格(P)＝限界費用(MC)」としてQを求める

・

① 左辺の21を右辺へ移行する

・

② 両辺を3で割る

・

③ 因数分解を行う

・0＝(Q－3)(Q＋1)

 

平均可変費用関数(AVC)から求める

 

次の平均可変費用関数(AVC)と価格(P)が与えらえれているとき、完全競争市場において企業の利潤が最大化する最適生産量を求める。※Qは生産量を表す

• 
• 価格(P)＝21

 

 

• まずは平均可変費用(AVC)から総費用(TC)を求める。

 

平均可変費用(AVC)は生産量(Q)を掛けて固定費用(FC)を足すと総費用になる

 

 にQを掛けると

最後に固定費用(FC)を足すと総費用になります

• 

 

• この総費用(TC)から限界費用(MC)を求める。

 

総費用関数(TC)を生産量(Q)で微分すれば限界費用になる

以下「C＝～」として計算していきます。

　を微分すると

• 

 

「価格(P)＝限界費用(MC)」としてQを求める

・

問題文から「価格(P)＝21」となっていたことに注意

 

① 左辺の21を右辺へ移行する

・

② 両辺を3で割る

・

③ 因数分解を行う

・0＝(Q－3)(Q＋1)

生産関数(Y)から求める

 

生産要素が1つ（労働のみ･短期生産関数）

 

いま、ある企業の生産関数(短期生産関数)が「Y=√L」と与えられているとき、完全競争市場において、この企業が利潤最大化する生産量(Y)･労働の投入量(労働需要量･L)を求める。なお固定費用は考えないものとする。

• 価格(P)=4800
• 賃金(w)=1200

 

 

• 字数を減らしたいので「利潤(π)＝(PY)－(wL)」のY(もしくはL)を消す

ここではYを消す場合を考える

「Y=√L」より

• 利潤(π)＝(PY)－(wL)
• 利潤(π)＝(P√L)－(wL)

⇒「利潤(π)＝(P√L)－(wL)」とする。

 

• 「利潤(π)＝(P√L)－(wL)」で利潤を最大化させるには？

 

上記の式を生産量で微分して「=0」とすれば、利潤が最大化したことになる。

 

「利潤(π)＝(P√L)－(wL)」を生産量で微分します。

ここで、当初の「生産量=Y」は「L」の文字を使って置き換えたので、「生産量(L)」として考えます。したがって「L」で微分して「＝0」と置きます。

数式で考えると「Δπ／ΔL＝0」←Δπ／ΔLは微分したことを表しています。

 

「√（ルート）」は「2分の1乗」

そのため「√L=Lの2分の1乗」となります。

 

微分をするときは

1. 乗数を手前に持ってくる
2. 乗数を「1」マイナスする

 

「乗数がマイナス」のときは「分数になる」

 

「利潤(π)＝(P√L)－(wL)」を「L」で微分すると‥

• （P√L）は上で説明した通りで微分できます。
• （wL）は（Lの1乗）なので微分すると（1×Lの0乗）=1になります。よって「w×1=w」

 

 

あとは問題で与えられた「P=4800」「w=1200」を代入して「L」の値を求めればOK！

このままでは計算しづらいので、値を代入する前に変形します。

 

• 「－w」を右辺へ移行する

 

• 両辺を「P」で割ります

 

ここで「P=4800･w=1200」を代入します。

 

 

 

• 両辺を2乗する

 

利潤が最大化する生産量と労働投入量は‥

• 生産量(Y)=2
• 労働の投入量(L)=4

 

別解

• 完全競争市場における利潤最大化条件「価格(P)=限界費用(MC)」を使う

 

 

• 「総費用＝賃金(w)×労働量(L)」を生産量(Y)で微分すればOK

 

以上より

• 総費用＝賃金(w)×(Yの2乗)となる。

これを生産量(Y)で微分すれば‥「限界費用(MC)=2wY」

 

利潤最大化条件の「P=MC」より「P=2wY」として計算します。

問題文から「P=4800」「w=1200」と与えられていたので

• 4800=2･1200･Y
• 4800=2400Y
• Y=2

また、生産関数「Y=√L」より「2=√L」となるので「L=4」

 

利潤最大化が実現する最適な生産量は「Y=2」で、労働投入量は「L=4」となる。

 

生産要素が2つ（通常･長期生産関数）

 

いま、ある企業の生産関数(長期生産関数)が

と与えられているとき、完全競争市場において、この企業が利潤最大化する生産量(Y)･各生産要素の最適な投入量(L･K)を求める。

• 価格(P)=2400
• 賃金(w)=1200
• 資本のレンタル料(r)=2400

 

 

• 字数を減らしたいので「利潤(π)＝(PY)－(wL＋rK)」のY(もしくはL･K)を消す

ここではYを消す場合を考える

　より

• 利潤(π)＝(PY)－(wL＋rK)
• 利潤(π)＝(P･L^0.25･√K)－(wL＋rK)

⇒「利潤(π)＝(P･L^0.25･√K)－(wL＋rK)」とする。

 

• 「利潤(π)＝(P･L^0.25･√K)－(wL＋rK)」で利潤を最大化させるには？

 

上記の式を生産量で微分して「=0」とすれば、利潤が最大化したことになる。

 

「利潤(π)＝(P･L^0.25･√K)－(wL＋rK)」を生産量で微分します。

ここで、当初の「生産量=Y」は「L･K」の文字を使って置き換えたので、「生産量(L･K)」として考えます。したがって「L」「K」で偏微分して「＝0」と置きます。

数式だと「∂π/∂L=0，∂π/∂K＝0」←∂π/∂L・∂π/∂Kは偏微分したことを表しています。

 

「√（ルート）」は「2分の1乗」

そのため「√K=Kの2分の1乗」となります。以下「√K=Kの2分の1乗(0.5乗)」と表記します。

 

偏微分をするときは

1. 乗数を手前に持ってくる
2. 乗数を「1」マイナスする

※0.25=1／4

 

「乗数がマイナス」のときは「分数になる」

 

「利潤(π)＝(P･L^0.25･K^0.5)－(wL+rK)」を「L」で偏微分すると‥

• （P･L^0.25･K^0.5）は上で説明した通りで微分できます。
• （wL+rK）は（Lの1乗）なので微分すると（1×Lの0乗）=1になります。よって「w×1=w」

 

 

あとは問題で与えられた「P=2400・w=1200・K=2400」を代入して「L･K」の値を求めればOK！

このままでは計算しづらいので、値を代入する前に変形します。

 

• 「－w」「－r」を右辺へ移行する

 

• 両辺を「P」で割ります

 

ここで「P=2400･w=1200･r=2400」を代入します。

 

 

両辺を4乗する

 

「16Lの3乗」と「L／16」がイコール

 

計算途中で登場した「L=16Kの2乗」へ代入

 

生産関数「Y=L^0.25･√K」へ答えを代入

 

計算していく

 

• 利潤が最大化する生産量(Y)は「1／8」
• 最適な労働の投入量(L)は「1／16」
• 最適な資本の投入量(K)は「1／16」

 

生産要素が2つ（収穫一定･長期生産関数）

 

いま、ある企業の生産関数(長期生産関数)が

• Y＝√L･√K

と与えられているとき、完全競争市場において、この企業が利潤最大化する生産量(Y)･各生産要素の最適な投入量(L･K)を求める。

• 価格(P)=2400
• 賃金(w)=1200
• 資本のレンタル料(r)=4800

 

 

• 「(ｗ／ｒ)」=「MPL／MPK」が成立

「生産要素の価格比(要素価格比)＝2つの限界生産力の比」

 

というわけで、まず「労働の限界生産力(MPL)」「資本の限界生産力(MPK)」を求めます

 

• 「Y＝√L･√K」を「L･K」で微分します

※「√L＝Lの0.5乗(1/2乗)」「√K＝Kの0.5乗(1/2乗)」

 

労働(L)で微分する

 

資本(K)で微分する

 

ここで、費用最小化が実現するとき、下記の式が成り立つ

• 「(ｗ／ｒ)」=「MPL／MPK」が成立

「生産要素の価格比(要素価格比)＝2つの限界生産力の比」

 

• 「MPL／MPK」を求める

 

• 「(ｗ／ｒ)」＝「MPL／MPK」より

 

• Y＝√L･√K へ代入

 

• 費用(C)＝ｗＬ＋ｒＫ

 

C＝w2Y＋r(1／2)Y

C＝1200･2Y＋4800･(1／2)Y
C＝2400Y＋2400Y
C＝4800Y

 

• 販売価格(P)が4800より大きい場合（P＞4800）

収穫が一定のため、無限に利潤を生み出すことが出来ます。つまり、利潤が最大化する生産量は定まらない(＝無限)になります。

 

• 販売価格(P)が4800より小さい場合（P＜4800）

商品を売るたびに赤字になります。そのため、利潤が最大化する生産量は0(＝生産しない)になります。

 

問題文で「価格(P)=2400」とあったので、利潤が最大化する生産量は0となります。